Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57984 / 90499
↖ ↑ ↗
← S 56.369814°
W 20.742188°		 ← 169.15 m → S 56.369814°
W 20.739441°		 →
↑
169.15 m
↓
↑
169.15 m
↓
S 56.371335°
W 20.742188°		 ← 169.15 m →
28 612 m²		 S 56.371335°
W 20.739441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442386627197266 y=0.690456390380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442386627197266 × 217)
    floor (0.442386627197266 × 131072)
    floor (57984.5)     		tx = 57984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690456390380859 × 217)
    floor (0.690456390380859 × 131072)
    floor (90499.5)     		ty = 90499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57984 / 90499 ti = "17/57984/90499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57984/90499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57984 ÷ 217
    57984 ÷ 131072     		x = 0.4423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90499 ÷ 217
    90499 ÷ 131072     		y = 0.690452575683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4423828125 × 2 - 1) × π
    -0.115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36201947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690452575683594 × 2 - 1) × π
    -0.380905151367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.19664882521546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36201947} λ = -0.36201947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19664882521546))-π/2
    2×atan(0.302205259512821)-π/2
    2×0.293478738362547-π/2
    0.586957476725094-1.57079632675     		φ = -0.98383885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36201947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.742188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98383885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.369814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57984 KachelY 90499 -0.36201947 -0.98383885 -20.742188 -56.369814
    Oben rechts KachelX + 1 57985 KachelY 90499 -0.36197153 -0.98383885 -20.739441 -56.369814
    Unten links KachelX 57984 KachelY + 1 90500 -0.36201947 -0.98386540 -20.742188 -56.371335
    Unten rechts KachelX + 1 57985 KachelY + 1 90500 -0.36197153 -0.98386540 -20.739441 -56.371335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98383885--0.98386540) × R
    2.65499999999586e-05 × 6371000     		dl = 169.150049999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98383885--0.98386540) × R
    2.65499999999586e-05 × 6371000     		dr = 169.150049999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36201947--0.36197153) × cos(-0.98383885) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.553830295414666 × 6371000     		do = 169.154027811528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36201947--0.36197153) × cos(-0.98386540) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.553808188904339 × 6371000     		du = 169.147275914252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98383885)-sin(-0.98386540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553830295414666-0.553808188904339)×R²
    abs(-0.36197153--0.36201947)×2.21065103276352e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21065103276352e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21065103276352e-05×40589641000000     		ar = 28611.8412218407m²