Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57983 / 88670
↖ ↑ ↗
← S 53.484777°
W 20.744934°		 ← 181.70 m → S 53.484777°
W 20.742188°		 →
↑
181.70 m
↓
↑
181.70 m
↓
S 53.486411°
W 20.744934°		 ← 181.69 m →
33 015 m²		 S 53.486411°
W 20.742188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442378997802734 y=0.676502227783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442378997802734 × 217)
    floor (0.442378997802734 × 131072)
    floor (57983.5)     		tx = 57983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676502227783203 × 217)
    floor (0.676502227783203 × 131072)
    floor (88670.5)     		ty = 88670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57983 / 88670 ti = "17/57983/88670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57983/88670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57983 ÷ 217
    57983 ÷ 131072     		x = 0.442375183105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88670 ÷ 217
    88670 ÷ 131072     		y = 0.676498413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442375183105469 × 2 - 1) × π
    -0.115249633789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.36206740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676498413085938 × 2 - 1) × π
    -0.352996826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.10897223581038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36206740} λ = -0.36206740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10897223581038))-π/2
    2×atan(0.329897844089834)-π/2
    2×0.318655433974984-π/2
    0.637310867949968-1.57079632675     		φ = -0.93348546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36206740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.744934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93348546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.484777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57983 KachelY 88670 -0.36206740 -0.93348546 -20.744934 -53.484777
    Oben rechts KachelX + 1 57984 KachelY 88670 -0.36201947 -0.93348546 -20.742188 -53.484777
    Unten links KachelX 57983 KachelY + 1 88671 -0.36206740 -0.93351398 -20.744934 -53.486411
    Unten rechts KachelX + 1 57984 KachelY + 1 88671 -0.36201947 -0.93351398 -20.742188 -53.486411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93348546--0.93351398) × R
    2.85199999999763e-05 × 6371000     		dl = 181.700919999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93348546--0.93351398) × R
    2.85199999999763e-05 × 6371000     		dr = 181.700919999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36206740--0.36201947) × cos(-0.93348546) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.595036342336402 × 6371000     		do = 181.701505419519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36206740--0.36201947) × cos(-0.93351398) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.595013420604805 × 6371000     		du = 181.694505993028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93348546)-sin(-0.93351398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595036342336402-0.595013420604805)×R²
    abs(-0.36201947--0.36206740)×2.29217315970143e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.29217315970143e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.29217315970143e-05×40589641000000     		ar = 33014.6948011533m²