Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57980 / 89830
↖ ↑ ↗
← S 55.338518°
W 20.753174°		 ← 173.67 m → S 55.338518°
W 20.750427°		 →
↑
173.67 m
↓
↑
173.67 m
↓
S 55.340080°
W 20.753174°		 ← 173.66 m →
30 161 m²		 S 55.340080°
W 20.750427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442356109619141 y=0.685352325439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442356109619141 × 217)
    floor (0.442356109619141 × 131072)
    floor (57980.5)     		tx = 57980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685352325439453 × 217)
    floor (0.685352325439453 × 131072)
    floor (89830.5)     		ty = 89830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57980 / 89830 ti = "17/57980/89830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57980/89830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57980 ÷ 217
    57980 ÷ 131072     		x = 0.442352294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89830 ÷ 217
    89830 ÷ 131072     		y = 0.685348510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442352294921875 × 2 - 1) × π
    -0.11529541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36221121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685348510742188 × 2 - 1) × π
    -0.370697021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16457903936964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36221121} λ = -0.36221121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16457903936964))-π/2
    2×atan(0.312053996834529)-π/2
    2×0.30247849362896-π/2
    0.604956987257919-1.57079632675     		φ = -0.96583934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36221121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.753174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96583934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.338518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57980 KachelY 89830 -0.36221121 -0.96583934 -20.753174 -55.338518
    Oben rechts KachelX + 1 57981 KachelY 89830 -0.36216328 -0.96583934 -20.750427 -55.338518
    Unten links KachelX 57980 KachelY + 1 89831 -0.36221121 -0.96586660 -20.753174 -55.340080
    Unten rechts KachelX + 1 57981 KachelY + 1 89831 -0.36216328 -0.96586660 -20.750427 -55.340080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96583934--0.96586660) × R
    2.72599999999734e-05 × 6371000     		dl = 173.673459999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96583934--0.96586660) × R
    2.72599999999734e-05 × 6371000     		dr = 173.673459999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36221121--0.36216328) × cos(-0.96583934) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.568726697281344 × 6371000     		do = 173.667538797133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36221121--0.36216328) × cos(-0.96586660) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.568704274995977 × 6371000     		du = 173.660691882556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96583934)-sin(-0.96586660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568726697281344-0.568704274995977)×R²
    abs(-0.36216328--0.36221121)×2.24222853667522e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.24222853667522e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.24222853667522e-05×40589641000000     		ar = 30160.8477907962m²