Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57978 / 88824
↖ ↑ ↗
← S 53.735716°
W 20.758667°		 ← 180.66 m → S 53.735716°
W 20.755920°		 →
↑
180.62 m
↓
↑
180.62 m
↓
S 53.737340°
W 20.758667°		 ← 180.66 m →
32 630 m²		 S 53.737340°
W 20.755920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442340850830078 y=0.677677154541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442340850830078 × 217)
    floor (0.442340850830078 × 131072)
    floor (57978.5)     		tx = 57978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677677154541016 × 217)
    floor (0.677677154541016 × 131072)
    floor (88824.5)     		ty = 88824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57978 / 88824 ti = "17/57978/88824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57978/88824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57978 ÷ 217
    57978 ÷ 131072     		x = 0.442337036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88824 ÷ 217
    88824 ÷ 131072     		y = 0.67767333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442337036132812 × 2 - 1) × π
    -0.115325927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36230709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67767333984375 × 2 - 1) × π
    -0.3553466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.11635451835187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36230709} λ = -0.36230709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11635451835187))-π/2
    2×atan(0.327471412317041)-π/2
    2×0.316465580571033-π/2
    0.632931161142066-1.57079632675     		φ = -0.93786517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36230709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.758667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93786517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.735716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57978 KachelY 88824 -0.36230709 -0.93786517 -20.758667 -53.735716
    Oben rechts KachelX + 1 57979 KachelY 88824 -0.36225915 -0.93786517 -20.755920 -53.735716
    Unten links KachelX 57978 KachelY + 1 88825 -0.36230709 -0.93789352 -20.758667 -53.737340
    Unten rechts KachelX + 1 57979 KachelY + 1 88825 -0.36225915 -0.93789352 -20.755920 -53.737340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93786517--0.93789352) × R
    2.83500000000103e-05 × 6371000     		dl = 180.617850000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93786517--0.93789352) × R
    2.83500000000103e-05 × 6371000     		dr = 180.617850000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36230709--0.36225915) × cos(-0.93786517) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.591510679002371 × 6371000     		do = 180.662586852292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36230709--0.36225915) × cos(-0.93789352) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.59148782024007 × 6371000     		du = 180.655605197901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93786517)-sin(-0.93789352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591510679002371-0.59148782024007)×R²
    abs(-0.36225915--0.36230709)×2.28587623006815e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28587623006815e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28587623006815e-05×40589641000000     		ar = 32630.2575090627m²