Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57976 / 87655
↖ ↑ ↗
← S 51.793328°
W 20.764160°		 ← 188.91 m → S 51.793328°
W 20.761413°		 →
↑
188.90 m
↓
↑
188.90 m
↓
S 51.795027°
W 20.764160°		 ← 188.90 m →
35 684 m²		 S 51.795027°
W 20.761413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442325592041016 y=0.668758392333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442325592041016 × 217)
    floor (0.442325592041016 × 131072)
    floor (57976.5)     		tx = 57976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668758392333984 × 217)
    floor (0.668758392333984 × 131072)
    floor (87655.5)     		ty = 87655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57976 / 87655 ti = "17/57976/87655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57976/87655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57976 ÷ 217
    57976 ÷ 131072     		x = 0.44232177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87655 ÷ 217
    87655 ÷ 131072     		y = 0.668754577636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44232177734375 × 2 - 1) × π
    -0.1153564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36240296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668754577636719 × 2 - 1) × π
    -0.337509155273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.06031628269602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36240296} λ = -0.36240296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06031628269602))-π/2
    2×atan(0.346346249679296)-π/2
    2×0.333416106985923-π/2
    0.666832213971846-1.57079632675     		φ = -0.90396411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36240296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.764160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90396411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.793328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57976 KachelY 87655 -0.36240296 -0.90396411 -20.764160 -51.793328
    Oben rechts KachelX + 1 57977 KachelY 87655 -0.36235502 -0.90396411 -20.761413 -51.793328
    Unten links KachelX 57976 KachelY + 1 87656 -0.36240296 -0.90399376 -20.764160 -51.795027
    Unten rechts KachelX + 1 57977 KachelY + 1 87656 -0.36235502 -0.90399376 -20.761413 -51.795027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90396411--0.90399376) × R
    2.96499999999922e-05 × 6371000     		dl = 188.90014999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90396411--0.90399376) × R
    2.96499999999922e-05 × 6371000     		dr = 188.90014999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36240296--0.36235502) × cos(-0.90396411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618499898332156 × 6371000     		do = 188.9057891379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36240296--0.36235502) × cos(-0.90399376) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618476599538634 × 6371000     		du = 188.898673086647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90396411)-sin(-0.90399376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618499898332156-0.618476599538634)×R²
    abs(-0.36235502--0.36240296)×2.32987935218087e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32987935218087e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32987935218087e-05×40589641000000     		ar = 35683.6597950136m²