Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57972 / 88698
↖ ↑ ↗
← S 53.530513°
W 20.775147°		 ← 181.54 m → S 53.530513°
W 20.772400°		 →
↑
181.51 m
↓
↑
181.51 m
↓
S 53.532146°
W 20.775147°		 ← 181.54 m →
32 951 m²		 S 53.532146°
W 20.772400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442295074462891 y=0.676715850830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442295074462891 × 217)
    floor (0.442295074462891 × 131072)
    floor (57972.5)     		tx = 57972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676715850830078 × 217)
    floor (0.676715850830078 × 131072)
    floor (88698.5)     		ty = 88698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57972 / 88698 ti = "17/57972/88698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57972/88698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57972 ÷ 217
    57972 ÷ 131072     		x = 0.442291259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88698 ÷ 217
    88698 ÷ 131072     		y = 0.676712036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442291259765625 × 2 - 1) × π
    -0.11541748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36259471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676712036132812 × 2 - 1) × π
    -0.353424072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11031446899974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36259471} λ = -0.36259471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11031446899974))-π/2
    2×atan(0.329455341291803)-π/2
    2×0.318256310569132-π/2
    0.636512621138265-1.57079632675     		φ = -0.93428371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36259471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.775147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93428371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.530513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57972 KachelY 88698 -0.36259471 -0.93428371 -20.775147 -53.530513
    Oben rechts KachelX + 1 57973 KachelY 88698 -0.36254677 -0.93428371 -20.772400 -53.530513
    Unten links KachelX 57972 KachelY + 1 88699 -0.36259471 -0.93431220 -20.775147 -53.532146
    Unten rechts KachelX + 1 57973 KachelY + 1 88699 -0.36254677 -0.93431220 -20.772400 -53.532146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93428371--0.93431220) × R
    2.84900000000476e-05 × 6371000     		dl = 181.509790000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93428371--0.93431220) × R
    2.84900000000476e-05 × 6371000     		dr = 181.509790000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36259471--0.36254677) × cos(-0.93428371) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594394600262833 × 6371000     		do = 181.543410637161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36259471--0.36254677) × cos(-0.93431220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594371689117865 × 6371000     		du = 181.536412983755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93428371)-sin(-0.93431220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594394600262833-0.594371689117865)×R²
    abs(-0.36254677--0.36259471)×2.29111449686625e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29111449686625e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29111449686625e-05×40589641000000     		ar = 32951.2712715905m²