Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57970 / 88687
↖ ↑ ↗
← S 53.512551°
W 20.780640°		 ← 181.58 m → S 53.512551°
W 20.777893°		 →
↑
181.64 m
↓
↑
181.64 m
↓
S 53.514185°
W 20.780640°		 ← 181.58 m →
32 982 m²		 S 53.514185°
W 20.777893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442279815673828 y=0.676631927490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442279815673828 × 217)
    floor (0.442279815673828 × 131072)
    floor (57970.5)     		tx = 57970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676631927490234 × 217)
    floor (0.676631927490234 × 131072)
    floor (88687.5)     		ty = 88687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57970 / 88687 ti = "17/57970/88687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57970/88687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57970 ÷ 217
    57970 ÷ 131072     		x = 0.442276000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88687 ÷ 217
    88687 ÷ 131072     		y = 0.676628112792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442276000976562 × 2 - 1) × π
    -0.115447998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36269058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676628112792969 × 2 - 1) × π
    -0.353256225585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.10978716310392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36269058} λ = -0.36269058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10978716310392))-π/2
    2×atan(0.329629110846505)-π/2
    2×0.31841305768767-π/2
    0.636826115375339-1.57079632675     		φ = -0.93397021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36269058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.780640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93397021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.512551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57970 KachelY 88687 -0.36269058 -0.93397021 -20.780640 -53.512551
    Oben rechts KachelX + 1 57971 KachelY 88687 -0.36264265 -0.93397021 -20.777893 -53.512551
    Unten links KachelX 57970 KachelY + 1 88688 -0.36269058 -0.93399872 -20.780640 -53.514185
    Unten rechts KachelX + 1 57971 KachelY + 1 88688 -0.36264265 -0.93399872 -20.777893 -53.514185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93397021--0.93399872) × R
    2.85099999999261e-05 × 6371000     		dl = 181.637209999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93397021--0.93399872) × R
    2.85099999999261e-05 × 6371000     		dr = 181.637209999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36269058--0.36264265) × cos(-0.93397021) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.594646679449741 × 6371000     		do = 181.582517169433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36269058--0.36264265) × cos(-0.93399872) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.594623757534618 × 6371000     		du = 181.5755176869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93397021)-sin(-0.93399872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594646679449741-0.594623757534618)×R²
    abs(-0.36264265--0.36269058)×2.29219151232085e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.29219151232085e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.29219151232085e-05×40589641000000     		ar = 32981.5061223393m²