Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57969 / 89416
↖ ↑ ↗
← S 54.686534°
W 20.783386°		 ← 176.55 m → S 54.686534°
W 20.780640°		 →
↑
176.54 m
↓
↑
176.54 m
↓
S 54.688122°
W 20.783386°		 ← 176.54 m →
31 168 m²		 S 54.688122°
W 20.780640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442272186279297 y=0.682193756103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442272186279297 × 217)
    floor (0.442272186279297 × 131072)
    floor (57969.5)     		tx = 57969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682193756103516 × 217)
    floor (0.682193756103516 × 131072)
    floor (89416.5)     		ty = 89416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57969 / 89416 ti = "17/57969/89416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57969/89416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57969 ÷ 217
    57969 ÷ 131072     		x = 0.442268371582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89416 ÷ 217
    89416 ÷ 131072     		y = 0.68218994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442268371582031 × 2 - 1) × π
    -0.115463256835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.36273852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68218994140625 × 2 - 1) × π
    -0.3643798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.14473316292694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36273852} λ = -0.36273852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14473316292694))-π/2
    2×atan(0.318308843059321)-π/2
    2×0.308168123958335-π/2
    0.61633624791667-1.57079632675     		φ = -0.95446008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36273852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.783386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95446008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.686534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57969 KachelY 89416 -0.36273852 -0.95446008 -20.783386 -54.686534
    Oben rechts KachelX + 1 57970 KachelY 89416 -0.36269058 -0.95446008 -20.780640 -54.686534
    Unten links KachelX 57969 KachelY + 1 89417 -0.36273852 -0.95448779 -20.783386 -54.688122
    Unten rechts KachelX + 1 57970 KachelY + 1 89417 -0.36269058 -0.95448779 -20.780640 -54.688122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95446008--0.95448779) × R
    2.77099999999031e-05 × 6371000     		dl = 176.540409999383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95446008--0.95448779) × R
    2.77099999999031e-05 × 6371000     		dr = 176.540409999383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36273852--0.36269058) × cos(-0.95446008) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.578049417765525 × 6371000     		do = 176.551171177693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36273852--0.36269058) × cos(-0.95448779) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.578026806134861 × 6371000     		du = 176.544265003665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95446008)-sin(-0.95448779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578049417765525-0.578026806134861)×R²
    abs(-0.36269058--0.36273852)×2.26116306636381e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26116306636381e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26116306636381e-05×40589641000000     		ar = 31167.8065382564m²