Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57968 / 89578
↖ ↑ ↗
← S 54.942921°
W 20.786133°		 ← 175.43 m → S 54.942921°
W 20.783386°		 →
↑
175.46 m
↓
↑
175.46 m
↓
S 54.944499°
W 20.786133°		 ← 175.43 m →
30 781 m²		 S 54.944499°
W 20.783386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442264556884766 y=0.683429718017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442264556884766 × 217)
    floor (0.442264556884766 × 131072)
    floor (57968.5)     		tx = 57968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683429718017578 × 217)
    floor (0.683429718017578 × 131072)
    floor (89578.5)     		ty = 89578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57968 / 89578 ti = "17/57968/89578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57968/89578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57968 ÷ 217
    57968 ÷ 131072     		x = 0.4422607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89578 ÷ 217
    89578 ÷ 131072     		y = 0.683425903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4422607421875 × 2 - 1) × π
    -0.115478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36278646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683425903320312 × 2 - 1) × π
    -0.366851806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.15249894066539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36278646} λ = -0.36278646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15249894066539))-π/2
    2×atan(0.315846500708402)-π/2
    2×0.305930726363546-π/2
    0.611861452727093-1.57079632675     		φ = -0.95893487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36278646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.786133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95893487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.942921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57968 KachelY 89578 -0.36278646 -0.95893487 -20.786133 -54.942921
    Oben rechts KachelX + 1 57969 KachelY 89578 -0.36273852 -0.95893487 -20.783386 -54.942921
    Unten links KachelX 57968 KachelY + 1 89579 -0.36278646 -0.95896241 -20.786133 -54.944499
    Unten rechts KachelX + 1 57969 KachelY + 1 89579 -0.36273852 -0.95896241 -20.783386 -54.944499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95893487--0.95896241) × R
    2.75400000000481e-05 × 6371000     		dl = 175.457340000306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95893487--0.95896241) × R
    2.75400000000481e-05 × 6371000     		dr = 175.457340000306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36278646--0.36273852) × cos(-0.95893487) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.574392206092886 × 6371000     		do = 175.434164596037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36278646--0.36273852) × cos(-0.95896241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.57436966217552 × 6371000     		du = 175.427279103393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95893487)-sin(-0.95896241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574392206092886-0.57436966217552)×R²
    abs(-0.36273852--0.36278646)×2.25439173663355e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25439173663355e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25439173663355e-05×40589641000000     		ar = 30780.6078121204m²