Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57966 / 89828
↖ ↑ ↗
← S 55.335394°
W 20.791626°		 ← 173.72 m → S 55.335394°
W 20.788879°		 →
↑
173.74 m
↓
↑
173.74 m
↓
S 55.336956°
W 20.791626°		 ← 173.71 m →
30 181 m²		 S 55.336956°
W 20.788879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442249298095703 y=0.685337066650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442249298095703 × 217)
    floor (0.442249298095703 × 131072)
    floor (57966.5)     		tx = 57966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685337066650391 × 217)
    floor (0.685337066650391 × 131072)
    floor (89828.5)     		ty = 89828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57966 / 89828 ti = "17/57966/89828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57966/89828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57966 ÷ 217
    57966 ÷ 131072     		x = 0.442245483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89828 ÷ 217
    89828 ÷ 131072     		y = 0.685333251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442245483398438 × 2 - 1) × π
    -0.115509033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36288233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685333251953125 × 2 - 1) × π
    -0.37066650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1644831655704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36288233} λ = -0.36288233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1644831655704))-π/2
    2×atan(0.312083916070986)-π/2
    2×0.302505757698554-π/2
    0.605011515397109-1.57079632675     		φ = -0.96578481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36288233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.791626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96578481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.335394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57966 KachelY 89828 -0.36288233 -0.96578481 -20.791626 -55.335394
    Oben rechts KachelX + 1 57967 KachelY 89828 -0.36283439 -0.96578481 -20.788879 -55.335394
    Unten links KachelX 57966 KachelY + 1 89829 -0.36288233 -0.96581208 -20.791626 -55.336956
    Unten rechts KachelX + 1 57967 KachelY + 1 89829 -0.36283439 -0.96581208 -20.788879 -55.336956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96578481--0.96581208) × R
    2.72699999999126e-05 × 6371000     		dl = 173.737169999443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96578481--0.96581208) × R
    2.72699999999126e-05 × 6371000     		dr = 173.737169999443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36288233--0.36283439) × cos(-0.96578481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.568771548809141 × 6371000     		do = 173.717471185864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36288233--0.36283439) × cos(-0.96581208) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.568749119144086 × 6371000     		du = 173.710620588817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96578481)-sin(-0.96581208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568771548809141-0.568749119144086)×R²
    abs(-0.36283439--0.36288233)×2.24296650552791e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24296650552791e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24296650552791e-05×40589641000000     		ar = 30180.5867234758m²