Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57966 / 89591
↖ ↑ ↗
← S 54.963425°
W 20.791626°		 ← 175.34 m → S 54.963425°
W 20.788879°		 →
↑
175.33 m
↓
↑
175.33 m
↓
S 54.965002°
W 20.791626°		 ← 175.34 m →
30 743 m²		 S 54.965002°
W 20.788879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442249298095703 y=0.683528900146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442249298095703 × 217)
    floor (0.442249298095703 × 131072)
    floor (57966.5)     		tx = 57966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683528900146484 × 217)
    floor (0.683528900146484 × 131072)
    floor (89591.5)     		ty = 89591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57966 / 89591 ti = "17/57966/89591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57966/89591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57966 ÷ 217
    57966 ÷ 131072     		x = 0.442245483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89591 ÷ 217
    89591 ÷ 131072     		y = 0.683525085449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442245483398438 × 2 - 1) × π
    -0.115509033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36288233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683525085449219 × 2 - 1) × π
    -0.367050170898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.15312212036045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36288233} λ = -0.36288233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15312212036045))-π/2
    2×atan(0.315649732899625)-π/2
    2×0.305751797230261-π/2
    0.611503594460522-1.57079632675     		φ = -0.95929273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36288233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.791626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95929273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.963425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57966 KachelY 89591 -0.36288233 -0.95929273 -20.791626 -54.963425
    Oben rechts KachelX + 1 57967 KachelY 89591 -0.36283439 -0.95929273 -20.788879 -54.963425
    Unten links KachelX 57966 KachelY + 1 89592 -0.36288233 -0.95932025 -20.791626 -54.965002
    Unten rechts KachelX + 1 57967 KachelY + 1 89592 -0.36283439 -0.95932025 -20.788879 -54.965002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95929273--0.95932025) × R
    2.75199999999476e-05 × 6371000     		dl = 175.329919999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95929273--0.95932025) × R
    2.75199999999476e-05 × 6371000     		dr = 175.329919999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36288233--0.36283439) × cos(-0.95929273) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.574099232198474 × 6371000     		do = 175.344682827536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36288233--0.36283439) × cos(-0.95932025) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.574076698997791 × 6371000     		du = 175.337800608043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95929273)-sin(-0.95932025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574099232198474-0.574076698997791)×R²
    abs(-0.36283439--0.36288233)×2.2533200682906e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2533200682906e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2533200682906e-05×40589641000000     		ar = 30742.5658850406m²