Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57965 / 89827
↖ ↑ ↗
← S 55.333832°
W 20.794373°		 ← 173.72 m → S 55.333832°
W 20.791626°		 →
↑
173.67 m
↓
↑
173.67 m
↓
S 55.335394°
W 20.794373°		 ← 173.72 m →
30 171 m²		 S 55.335394°
W 20.791626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442241668701172 y=0.685329437255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442241668701172 × 217)
    floor (0.442241668701172 × 131072)
    floor (57965.5)     		tx = 57965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685329437255859 × 217)
    floor (0.685329437255859 × 131072)
    floor (89827.5)     		ty = 89827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57965 / 89827 ti = "17/57965/89827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57965/89827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57965 ÷ 217
    57965 ÷ 131072     		x = 0.442237854003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89827 ÷ 217
    89827 ÷ 131072     		y = 0.685325622558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442237854003906 × 2 - 1) × π
    -0.115524291992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.36293027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685325622558594 × 2 - 1) × π
    -0.370651245117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.16443522867078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36293027} λ = -0.36293027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16443522867078))-π/2
    2×atan(0.312098876764926)-π/2
    2×0.302519390539601-π/2
    0.605038781079203-1.57079632675     		φ = -0.96575755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36293027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.794373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96575755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.333832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57965 KachelY 89827 -0.36293027 -0.96575755 -20.794373 -55.333832
    Oben rechts KachelX + 1 57966 KachelY 89827 -0.36288233 -0.96575755 -20.791626 -55.333832
    Unten links KachelX 57965 KachelY + 1 89828 -0.36293027 -0.96578481 -20.794373 -55.335394
    Unten rechts KachelX + 1 57966 KachelY + 1 89828 -0.36288233 -0.96578481 -20.791626 -55.335394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96575755--0.96578481) × R
    2.72600000000844e-05 × 6371000     		dl = 173.673460000538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96575755--0.96578481) × R
    2.72600000000844e-05 × 6371000     		dr = 173.673460000538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36293027--0.36288233) × cos(-0.96575755) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.568793969826427 × 6371000     		do = 173.724319141861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36293027--0.36288233) × cos(-0.96578481) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.568771548809141 × 6371000     		du = 173.717471186065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96575755)-sin(-0.96578481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568793969826427-0.568771548809141)×R²
    abs(-0.36288233--0.36293027)×2.24210172864447e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24210172864447e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24210172864447e-05×40589641000000     		ar = 30170.7089392574m²