Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57960 / 89806
↖ ↑ ↗
← S 55.301011°
W 20.808105°		 ← 173.87 m → S 55.301011°
W 20.805359°		 →
↑
173.86 m
↓
↑
173.86 m
↓
S 55.302575°
W 20.808105°		 ← 173.86 m →
30 229 m²		 S 55.302575°
W 20.805359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442203521728516 y=0.685169219970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442203521728516 × 217)
    floor (0.442203521728516 × 131072)
    floor (57960.5)     		tx = 57960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685169219970703 × 217)
    floor (0.685169219970703 × 131072)
    floor (89806.5)     		ty = 89806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57960 / 89806 ti = "17/57960/89806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57960/89806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57960 ÷ 217
    57960 ÷ 131072     		x = 0.44219970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89806 ÷ 217
    89806 ÷ 131072     		y = 0.685165405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44219970703125 × 2 - 1) × π
    -0.1156005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36316995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685165405273438 × 2 - 1) × π
    -0.370330810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16342855377876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36316995} λ = -0.36316995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16342855377876))-π/2
    2×atan(0.312413217060689)-π/2
    2×0.302805804384474-π/2
    0.605611608768948-1.57079632675     		φ = -0.96518472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36316995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.808105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96518472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.301011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57960 KachelY 89806 -0.36316995 -0.96518472 -20.808105 -55.301011
    Oben rechts KachelX + 1 57961 KachelY 89806 -0.36312201 -0.96518472 -20.805359 -55.301011
    Unten links KachelX 57960 KachelY + 1 89807 -0.36316995 -0.96521201 -20.808105 -55.302575
    Unten rechts KachelX + 1 57961 KachelY + 1 89807 -0.36312201 -0.96521201 -20.805359 -55.302575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96518472--0.96521201) × R
    2.72900000000131e-05 × 6371000     		dl = 173.864590000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96518472--0.96521201) × R
    2.72900000000131e-05 × 6371000     		dr = 173.864590000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36316995--0.36312201) × cos(-0.96518472) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.569265017722882 × 6371000     		do = 173.868189294212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36316995--0.36312201) × cos(-0.96521201) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.569242580925925 × 6371000     		du = 173.861336518898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96518472)-sin(-0.96521201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569265017722882-0.569242580925925)×R²
    abs(-0.36312201--0.36316995)×2.2436796957126e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2436796957126e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2436796957126e-05×40589641000000     		ar = 30228.9257201316m²