Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57958 / 88813
↖ ↑ ↗
← S 53.717841°
W 20.813599°		 ← 180.74 m → S 53.717841°
W 20.810852°		 →
↑
180.75 m
↓
↑
180.75 m
↓
S 53.719466°
W 20.813599°		 ← 180.73 m →
32 667 m²		 S 53.719466°
W 20.810852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442188262939453 y=0.677593231201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442188262939453 × 217)
    floor (0.442188262939453 × 131072)
    floor (57958.5)     		tx = 57958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677593231201172 × 217)
    floor (0.677593231201172 × 131072)
    floor (88813.5)     		ty = 88813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57958 / 88813 ti = "17/57958/88813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57958/88813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57958 ÷ 217
    57958 ÷ 131072     		x = 0.442184448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88813 ÷ 217
    88813 ÷ 131072     		y = 0.677589416503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442184448242188 × 2 - 1) × π
    -0.115631103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36326583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677589416503906 × 2 - 1) × π
    -0.355178833007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.11582721245605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36326583} λ = -0.36326583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11582721245605))-π/2
    2×atan(0.327644135458432)-π/2
    2×0.316621567261377-π/2
    0.633243134522755-1.57079632675     		φ = -0.93755319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36326583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.813599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93755319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.717841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57958 KachelY 88813 -0.36326583 -0.93755319 -20.813599 -53.717841
    Oben rechts KachelX + 1 57959 KachelY 88813 -0.36321789 -0.93755319 -20.810852 -53.717841
    Unten links KachelX 57958 KachelY + 1 88814 -0.36326583 -0.93758156 -20.813599 -53.719466
    Unten rechts KachelX + 1 57959 KachelY + 1 88814 -0.36321789 -0.93758156 -20.810852 -53.719466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93755319--0.93758156) × R
    2.83699999999998e-05 × 6371000     		dl = 180.745269999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93755319--0.93758156) × R
    2.83699999999998e-05 × 6371000     		dr = 180.745269999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36326583--0.36321789) × cos(-0.93755319) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.591762198801189 × 6371000     		do = 180.739407472971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36326583--0.36321789) × cos(-0.93758156) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.591739329149007 × 6371000     		du = 180.73242249253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93755319)-sin(-0.93758156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591762198801189-0.591739329149007)×R²
    abs(-0.36321789--0.36326583)×2.28696521820115e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28696521820115e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28696521820115e-05×40589641000000     		ar = 32667.1617545379m²