Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57951 / 88961
↖ ↑ ↗
← S 53.957702°
W 20.832824°		 ← 179.67 m → S 53.957702°
W 20.830078°		 →
↑
179.66 m
↓
↑
179.66 m
↓
S 53.959317°
W 20.832824°		 ← 179.66 m →
32 279 m²		 S 53.959317°
W 20.830078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442134857177734 y=0.678722381591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442134857177734 × 217)
    floor (0.442134857177734 × 131072)
    floor (57951.5)     		tx = 57951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678722381591797 × 217)
    floor (0.678722381591797 × 131072)
    floor (88961.5)     		ty = 88961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57951 / 88961 ti = "17/57951/88961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57951/88961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57951 ÷ 217
    57951 ÷ 131072     		x = 0.442131042480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88961 ÷ 217
    88961 ÷ 131072     		y = 0.678718566894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442131042480469 × 2 - 1) × π
    -0.115737915039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.36360138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678718566894531 × 2 - 1) × π
    -0.357437133789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.12292187359982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36360138} λ = -0.36360138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12292187359982))-π/2
    2×atan(0.325327837731098)-π/2
    2×0.314528388519141-π/2
    0.629056777038282-1.57079632675     		φ = -0.94173955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36360138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.832824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94173955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.957702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57951 KachelY 88961 -0.36360138 -0.94173955 -20.832824 -53.957702
    Oben rechts KachelX + 1 57952 KachelY 88961 -0.36355345 -0.94173955 -20.830078 -53.957702
    Unten links KachelX 57951 KachelY + 1 88962 -0.36360138 -0.94176775 -20.832824 -53.959317
    Unten rechts KachelX + 1 57952 KachelY + 1 88962 -0.36355345 -0.94176775 -20.830078 -53.959317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94173955--0.94176775) × R
    2.82000000000338e-05 × 6371000     		dl = 179.662200000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94173955--0.94176775) × R
    2.82000000000338e-05 × 6371000     		dr = 179.662200000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36360138--0.36355345) × cos(-0.94173955) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.588382345686885 × 6371000     		do = 179.669627495011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36360138--0.36355345) × cos(-0.94176775) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.58835954341674 × 6371000     		du = 179.662664547511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94173955)-sin(-0.94176775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588382345686885-0.58835954341674)×R²
    abs(-0.36355345--0.36360138)×2.28022701447284e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.28022701447284e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.28022701447284e-05×40589641000000     		ar = 32279.2150617638m²