Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57949 / 89834
↖ ↑ ↗
← S 55.344765°
W 20.838318°		 ← 173.68 m → S 55.344765°
W 20.835571°		 →
↑
173.67 m
↓
↑
173.67 m
↓
S 55.346327°
W 20.838318°		 ← 173.67 m →
30 162 m²		 S 55.346327°
W 20.835571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442119598388672 y=0.685382843017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442119598388672 × 217)
    floor (0.442119598388672 × 131072)
    floor (57949.5)     		tx = 57949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685382843017578 × 217)
    floor (0.685382843017578 × 131072)
    floor (89834.5)     		ty = 89834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57949 / 89834 ti = "17/57949/89834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57949/89834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57949 ÷ 217
    57949 ÷ 131072     		x = 0.442115783691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89834 ÷ 217
    89834 ÷ 131072     		y = 0.685379028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442115783691406 × 2 - 1) × π
    -0.115768432617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.36369726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685379028320312 × 2 - 1) × π
    -0.370758056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.16477078696812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36369726} λ = -0.36369726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16477078696812))-π/2
    2×atan(0.31199416696634)-π/2
    2×0.302423971939459-π/2
    0.604847943878918-1.57079632675     		φ = -0.96594838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36369726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.838318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96594838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.344765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57949 KachelY 89834 -0.36369726 -0.96594838 -20.838318 -55.344765
    Oben rechts KachelX + 1 57950 KachelY 89834 -0.36364932 -0.96594838 -20.835571 -55.344765
    Unten links KachelX 57949 KachelY + 1 89835 -0.36369726 -0.96597564 -20.838318 -55.346327
    Unten rechts KachelX + 1 57950 KachelY + 1 89835 -0.36364932 -0.96597564 -20.835571 -55.346327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96594838--0.96597564) × R
    2.72599999999734e-05 × 6371000     		dl = 173.673459999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96594838--0.96597564) × R
    2.72599999999734e-05 × 6371000     		dr = 173.673459999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36369726--0.36364932) × cos(-0.96594838) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.568637005604293 × 6371000     		do = 173.676378228162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36369726--0.36364932) × cos(-0.96597564) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.568614581628592 × 6371000     		du = 173.66952936879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96594838)-sin(-0.96597564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568637005604293-0.568614581628592)×R²
    abs(-0.36364932--0.36369726)×2.2423975700625e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2423975700625e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2423975700625e-05×40589641000000     		ar = 30162.3827964255m²