Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57941 / 89837
↖ ↑ ↗
← S 55.349450°
W 20.860290°		 ← 173.62 m → S 55.349450°
W 20.857544°		 →
↑
173.67 m
↓
↑
173.67 m
↓
S 55.351012°
W 20.860290°		 ← 173.61 m →
30 153 m²		 S 55.351012°
W 20.857544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442058563232422 y=0.685405731201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442058563232422 × 217)
    floor (0.442058563232422 × 131072)
    floor (57941.5)     		tx = 57941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685405731201172 × 217)
    floor (0.685405731201172 × 131072)
    floor (89837.5)     		ty = 89837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57941 / 89837 ti = "17/57941/89837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57941/89837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57941 ÷ 217
    57941 ÷ 131072     		x = 0.442054748535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89837 ÷ 217
    89837 ÷ 131072     		y = 0.685401916503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442054748535156 × 2 - 1) × π
    -0.115890502929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.36408075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685401916503906 × 2 - 1) × π
    -0.370803833007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.16491459766698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36408075} λ = -0.36408075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16491459766698))-π/2
    2×atan(0.31194930209325)-π/2
    2×0.302383086315462-π/2
    0.604766172630923-1.57079632675     		φ = -0.96603015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36408075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.860290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96603015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.349450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57941 KachelY 89837 -0.36408075 -0.96603015 -20.860290 -55.349450
    Oben rechts KachelX + 1 57942 KachelY 89837 -0.36403282 -0.96603015 -20.857544 -55.349450
    Unten links KachelX 57941 KachelY + 1 89838 -0.36408075 -0.96605741 -20.860290 -55.351012
    Unten rechts KachelX + 1 57942 KachelY + 1 89838 -0.36403282 -0.96605741 -20.857544 -55.351012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96603015--0.96605741) × R
    2.72599999999734e-05 × 6371000     		dl = 173.673459999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96603015--0.96605741) × R
    2.72599999999734e-05 × 6371000     		dr = 173.673459999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36408075--0.36403282) × cos(-0.96603015) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.568569740635933 × 6371000     		do = 173.619610197268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36408075--0.36403282) × cos(-0.96605741) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.568547315392811 × 6371000     		du = 173.612762379505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96603015)-sin(-0.96605741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568569740635933-0.568547315392811)×R²
    abs(-0.36403282--0.36408075)×2.24252431211269e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.24252431211269e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.24252431211269e-05×40589641000000     		ar = 30152.523786489m²