Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57937 / 89808
↖ ↑ ↗
← S 55.304138°
W 20.871277°		 ← 173.85 m → S 55.304138°
W 20.868530°		 →
↑
173.86 m
↓
↑
173.86 m
↓
S 55.305701°
W 20.871277°		 ← 173.85 m →
30 227 m²		 S 55.305701°
W 20.868530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442028045654297 y=0.685184478759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442028045654297 × 217)
    floor (0.442028045654297 × 131072)
    floor (57937.5)     		tx = 57937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685184478759766 × 217)
    floor (0.685184478759766 × 131072)
    floor (89808.5)     		ty = 89808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57937 / 89808 ti = "17/57937/89808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57937/89808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57937 ÷ 217
    57937 ÷ 131072     		x = 0.442024230957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89808 ÷ 217
    89808 ÷ 131072     		y = 0.6851806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442024230957031 × 2 - 1) × π
    -0.115951538085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.36427250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.370361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.163524427578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36427250} λ = -0.36427250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.163524427578))-π/2
    2×atan(0.312383266254408)-π/2
    2×0.302778516659863-π/2
    0.605557033319725-1.57079632675     		φ = -0.96523929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36427250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.871277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96523929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.304138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57937 KachelY 89808 -0.36427250 -0.96523929 -20.871277 -55.304138
    Oben rechts KachelX + 1 57938 KachelY 89808 -0.36422456 -0.96523929 -20.868530 -55.304138
    Unten links KachelX 57937 KachelY + 1 89809 -0.36427250 -0.96526658 -20.871277 -55.305701
    Unten rechts KachelX + 1 57938 KachelY + 1 89809 -0.36422456 -0.96526658 -20.868530 -55.305701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96523929--0.96526658) × R
    2.72900000000131e-05 × 6371000     		dl = 173.864590000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96523929--0.96526658) × R
    2.72900000000131e-05 × 6371000     		dr = 173.864590000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36427250--0.36422456) × cos(-0.96523929) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.56922015192688 × 6371000     		do = 173.854486125267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36427250--0.36422456) × cos(-0.96526658) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.569197714282214 × 6371000     		du = 173.847633091041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96523929)-sin(-0.96526658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56922015192688-0.569197714282214)×R²
    abs(-0.36422456--0.36427250)×2.24376446652519e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24376446652519e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24376446652519e-05×40589641000000     		ar = 30226.5432015619m²