Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57935 / 88719
↖ ↑ ↗
← S 53.564783°
W 20.876770°		 ← 181.36 m → S 53.564783°
W 20.874024°		 →
↑
181.38 m
↓
↑
181.38 m
↓
S 53.566414°
W 20.876770°		 ← 181.35 m →
32 895 m²		 S 53.566414°
W 20.874024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442012786865234 y=0.676876068115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442012786865234 × 217)
    floor (0.442012786865234 × 131072)
    floor (57935.5)     		tx = 57935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676876068115234 × 217)
    floor (0.676876068115234 × 131072)
    floor (88719.5)     		ty = 88719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57935 / 88719 ti = "17/57935/88719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57935/88719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57935 ÷ 217
    57935 ÷ 131072     		x = 0.442008972167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88719 ÷ 217
    88719 ÷ 131072     		y = 0.676872253417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442008972167969 × 2 - 1) × π
    -0.115982055664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.36436837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676872253417969 × 2 - 1) × π
    -0.353744506835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.11132114389176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36436837} λ = -0.36436837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11132114389176))-π/2
    2×atan(0.329123853749769)-π/2
    2×0.317957250592231-π/2
    0.635914501184461-1.57079632675     		φ = -0.93488183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36436837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.876770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93488183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.564783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57935 KachelY 88719 -0.36436837 -0.93488183 -20.876770 -53.564783
    Oben rechts KachelX + 1 57936 KachelY 88719 -0.36432044 -0.93488183 -20.874024 -53.564783
    Unten links KachelX 57935 KachelY + 1 88720 -0.36436837 -0.93491030 -20.876770 -53.566414
    Unten rechts KachelX + 1 57936 KachelY + 1 88720 -0.36432044 -0.93491030 -20.874024 -53.566414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93488183--0.93491030) × R
    2.84699999999471e-05 × 6371000     		dl = 181.382369999663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93488183--0.93491030) × R
    2.84699999999471e-05 × 6371000     		dr = 181.382369999663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36436837--0.36432044) × cos(-0.93488183) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.593913501700819 × 6371000     		do = 181.358632523671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36436837--0.36432044) × cos(-0.93491030) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.593890596522316 × 6371000     		du = 181.351638151866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93488183)-sin(-0.93491030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593913501700819-0.593890596522316)×R²
    abs(-0.36432044--0.36436837)×2.29051785030077e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.29051785030077e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.29051785030077e-05×40589641000000     		ar = 32894.6242613172m²