Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57932 / 89836
↖ ↑ ↗
← S 55.347889°
W 20.885009°		 ← 173.63 m → S 55.347889°
W 20.882263°		 →
↑
173.61 m
↓
↑
173.61 m
↓
S 55.349450°
W 20.885009°		 ← 173.62 m →
30 143 m²		 S 55.349450°
W 20.882263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441989898681641 y=0.685398101806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441989898681641 × 217)
    floor (0.441989898681641 × 131072)
    floor (57932.5)     		tx = 57932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685398101806641 × 217)
    floor (0.685398101806641 × 131072)
    floor (89836.5)     		ty = 89836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57932 / 89836 ti = "17/57932/89836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57932/89836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57932 ÷ 217
    57932 ÷ 131072     		x = 0.441986083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89836 ÷ 217
    89836 ÷ 131072     		y = 0.685394287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441986083984375 × 2 - 1) × π
    -0.11602783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36451218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685394287109375 × 2 - 1) × π
    -0.37078857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16486666076736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36451218} λ = -0.36451218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16486666076736))-π/2
    2×atan(0.311964256334058)-π/2
    2×0.302396714319375-π/2
    0.604793428638751-1.57079632675     		φ = -0.96600290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36451218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.885009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96600290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.347889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57932 KachelY 89836 -0.36451218 -0.96600290 -20.885009 -55.347889
    Oben rechts KachelX + 1 57933 KachelY 89836 -0.36446425 -0.96600290 -20.882263 -55.347889
    Unten links KachelX 57932 KachelY + 1 89837 -0.36451218 -0.96603015 -20.885009 -55.349450
    Unten rechts KachelX + 1 57933 KachelY + 1 89837 -0.36446425 -0.96603015 -20.882263 -55.349450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96600290--0.96603015) × R
    2.72500000000342e-05 × 6371000     		dl = 173.609750000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96600290--0.96603015) × R
    2.72500000000342e-05 × 6371000     		dr = 173.609750000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36451218--0.36446425) × cos(-0.96600290) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.56859215723035 × 6371000     		do = 173.626455374045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36451218--0.36446425) × cos(-0.96603015) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.568569740635933 × 6371000     		du = 173.619610197268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96600290)-sin(-0.96603015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56859215723035-0.568569740635933)×R²
    abs(-0.36446425--0.36451218)×2.24165944170407e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.24165944170407e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.24165944170407e-05×40589641000000     		ar = 30142.6513180784m²