Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57931 / 89840
↖ ↑ ↗
← S 55.354136°
W 20.887756°		 ← 173.64 m → S 55.354136°
W 20.885009°		 →
↑
173.61 m
↓
↑
173.61 m
↓
S 55.355697°
W 20.887756°		 ← 173.63 m →
30 144 m²		 S 55.355697°
W 20.885009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441982269287109 y=0.685428619384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441982269287109 × 217)
    floor (0.441982269287109 × 131072)
    floor (57931.5)     		tx = 57931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685428619384766 × 217)
    floor (0.685428619384766 × 131072)
    floor (89840.5)     		ty = 89840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57931 / 89840 ti = "17/57931/89840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57931/89840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57931 ÷ 217
    57931 ÷ 131072     		x = 0.441978454589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89840 ÷ 217
    89840 ÷ 131072     		y = 0.6854248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441978454589844 × 2 - 1) × π
    -0.116043090820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.36456012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6854248046875 × 2 - 1) × π
    -0.370849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16505840836584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36456012} λ = -0.36456012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16505840836584))-π/2
    2×atan(0.311904443671745)-π/2
    2×0.3023422055281-π/2
    0.6046844110562-1.57079632675     		φ = -0.96611192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36456012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.887756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96611192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.354136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57931 KachelY 89840 -0.36456012 -0.96611192 -20.887756 -55.354136
    Oben rechts KachelX + 1 57932 KachelY 89840 -0.36451218 -0.96611192 -20.885009 -55.354136
    Unten links KachelX 57931 KachelY + 1 89841 -0.36456012 -0.96613917 -20.887756 -55.355697
    Unten rechts KachelX + 1 57932 KachelY + 1 89841 -0.36451218 -0.96613917 -20.885009 -55.355697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96611192--0.96613917) × R
    2.72500000000342e-05 × 6371000     		dl = 173.609750000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96611192--0.96613917) × R
    2.72500000000342e-05 × 6371000     		dr = 173.609750000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36456012--0.36451218) × cos(-0.96611192) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.568502471865926 × 6371000     		do = 173.635288161366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36456012--0.36451218) × cos(-0.96613917) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.568480053582505 × 6371000     		du = 173.628441040562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96611192)-sin(-0.96613917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568502471865926-0.568480053582505)×R²
    abs(-0.36451218--0.36456012)×2.24182834213105e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24182834213105e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24182834213105e-05×40589641000000     		ar = 30144.1846074024m²