Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57929 / 89854
↖ ↑ ↗
← S 55.375989°
W 20.893250°		 ← 173.54 m → S 55.375989°
W 20.890503°		 →
↑
173.55 m
↓
↑
173.55 m
↓
S 55.377550°
W 20.893250°		 ← 173.53 m →
30 116 m²		 S 55.377550°
W 20.890503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441967010498047 y=0.685535430908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441967010498047 × 217)
    floor (0.441967010498047 × 131072)
    floor (57929.5)     		tx = 57929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685535430908203 × 217)
    floor (0.685535430908203 × 131072)
    floor (89854.5)     		ty = 89854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57929 / 89854 ti = "17/57929/89854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57929/89854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57929 ÷ 217
    57929 ÷ 131072     		x = 0.441963195800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89854 ÷ 217
    89854 ÷ 131072     		y = 0.685531616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441963195800781 × 2 - 1) × π
    -0.116073608398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.36465600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685531616210938 × 2 - 1) × π
    -0.371063232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16572952496053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36465600} λ = -0.36465600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16572952496053))-π/2
    2×atan(0.31169518964842)-π/2
    2×0.302151492462697-π/2
    0.604302984925393-1.57079632675     		φ = -0.96649334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36465600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.893250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96649334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.375989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57929 KachelY 89854 -0.36465600 -0.96649334 -20.893250 -55.375989
    Oben rechts KachelX + 1 57930 KachelY 89854 -0.36460806 -0.96649334 -20.890503 -55.375989
    Unten links KachelX 57929 KachelY + 1 89855 -0.36465600 -0.96652058 -20.893250 -55.377550
    Unten rechts KachelX + 1 57930 KachelY + 1 89855 -0.36460806 -0.96652058 -20.890503 -55.377550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96649334--0.96652058) × R
    2.72399999999839e-05 × 6371000     		dl = 173.546039999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96649334--0.96652058) × R
    2.72399999999839e-05 × 6371000     		dr = 173.546039999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36465600--0.36460806) × cos(-0.96649334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.568188643321948 × 6371000     		do = 173.539436846088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36465600--0.36460806) × cos(-0.96652058) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.568166227360571 × 6371000     		du = 173.532590434497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96649334)-sin(-0.96652058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568188643321948-0.568166227360571)×R²
    abs(-0.36460806--0.36465600)×2.24159613769759e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24159613769759e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24159613769759e-05×40589641000000     		ar = 30116.4879664272m²