Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57927 / 89831
↖ ↑ ↗
← S 55.340080°
W 20.898743°		 ← 173.70 m → S 55.340080°
W 20.895996°		 →
↑
173.67 m
↓
↑
173.67 m
↓
S 55.341642°
W 20.898743°		 ← 173.69 m →
30 166 m²		 S 55.341642°
W 20.895996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441951751708984 y=0.685359954833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441951751708984 × 217)
    floor (0.441951751708984 × 131072)
    floor (57927.5)     		tx = 57927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685359954833984 × 217)
    floor (0.685359954833984 × 131072)
    floor (89831.5)     		ty = 89831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57927 / 89831 ti = "17/57927/89831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57927/89831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57927 ÷ 217
    57927 ÷ 131072     		x = 0.441947937011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89831 ÷ 217
    89831 ÷ 131072     		y = 0.685356140136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441947937011719 × 2 - 1) × π
    -0.116104125976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.36475187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685356140136719 × 2 - 1) × π
    -0.370712280273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.16462697626926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36475187} λ = -0.36475187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16462697626926))-π/2
    2×atan(0.312039038291943)-π/2
    2×0.30246486240039-π/2
    0.60492972480078-1.57079632675     		φ = -0.96586660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36475187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.898743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96586660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.340080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57927 KachelY 89831 -0.36475187 -0.96586660 -20.898743 -55.340080
    Oben rechts KachelX + 1 57928 KachelY 89831 -0.36470393 -0.96586660 -20.895996 -55.340080
    Unten links KachelX 57927 KachelY + 1 89832 -0.36475187 -0.96589386 -20.898743 -55.341642
    Unten rechts KachelX + 1 57928 KachelY + 1 89832 -0.36470393 -0.96589386 -20.895996 -55.341642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96586660--0.96589386) × R
    2.72599999999734e-05 × 6371000     		dl = 173.673459999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96586660--0.96589386) × R
    2.72599999999734e-05 × 6371000     		dr = 173.673459999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36475187--0.36470393) × cos(-0.96586660) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.568704274995977 × 6371000     		do = 173.696924031696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36475187--0.36470393) × cos(-0.96589386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.568681852288002 × 6371000     		du = 173.69007555952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96586660)-sin(-0.96589386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568704274995977-0.568681852288002)×R²
    abs(-0.36470393--0.36475187)×2.24227079752559e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24227079752559e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24227079752559e-05×40589641000000     		ar = 30165.951090853m²