Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57927 / 89824
↖ ↑ ↗
← S 55.329144°
W 20.898743°		 ← 173.74 m → S 55.329144°
W 20.895996°		 →
↑
173.74 m
↓
↑
173.74 m
↓
S 55.330707°
W 20.898743°		 ← 173.74 m →
30 185 m²		 S 55.330707°
W 20.895996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441951751708984 y=0.685306549072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441951751708984 × 217)
    floor (0.441951751708984 × 131072)
    floor (57927.5)     		tx = 57927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685306549072266 × 217)
    floor (0.685306549072266 × 131072)
    floor (89824.5)     		ty = 89824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57927 / 89824 ti = "17/57927/89824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57927/89824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57927 ÷ 217
    57927 ÷ 131072     		x = 0.441947937011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89824 ÷ 217
    89824 ÷ 131072     		y = 0.685302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441947937011719 × 2 - 1) × π
    -0.116104125976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.36475187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685302734375 × 2 - 1) × π
    -0.37060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16429141797192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36475187} λ = -0.36475187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16429141797192))-π/2
    2×atan(0.312143763150001)-π/2
    2×0.302560292287874-π/2
    0.605120584575748-1.57079632675     		φ = -0.96567574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36475187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.898743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96567574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.329144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57927 KachelY 89824 -0.36475187 -0.96567574 -20.898743 -55.329144
    Oben rechts KachelX + 1 57928 KachelY 89824 -0.36470393 -0.96567574 -20.895996 -55.329144
    Unten links KachelX 57927 KachelY + 1 89825 -0.36475187 -0.96570301 -20.898743 -55.330707
    Unten rechts KachelX + 1 57928 KachelY + 1 89825 -0.36470393 -0.96570301 -20.895996 -55.330707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96567574--0.96570301) × R
    2.72700000000237e-05 × 6371000     		dl = 173.737170000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96567574--0.96570301) × R
    2.72700000000237e-05 × 6371000     		dr = 173.737170000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36475187--0.36470393) × cos(-0.96567574) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.568861255015174 × 6371000     		do = 173.744869770224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36475187--0.36470393) × cos(-0.96570301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.568838827041938 × 6371000     		du = 173.738019689902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96567574)-sin(-0.96570301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568861255015174-0.568838827041938)×R²
    abs(-0.36470393--0.36475187)×2.24279732360388e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24279732360388e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24279732360388e-05×40589641000000     		ar = 30185.3469210064m²