Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57926 / 89819
↖ ↑ ↗
← S 55.321331°
W 20.901489°		 ← 173.78 m → S 55.321331°
W 20.898743°		 →
↑
173.80 m
↓
↑
173.80 m
↓
S 55.322894°
W 20.901489°		 ← 173.77 m →
30 202 m²		 S 55.322894°
W 20.898743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441944122314453 y=0.685268402099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441944122314453 × 217)
    floor (0.441944122314453 × 131072)
    floor (57926.5)     		tx = 57926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685268402099609 × 217)
    floor (0.685268402099609 × 131072)
    floor (89819.5)     		ty = 89819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57926 / 89819 ti = "17/57926/89819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57926/89819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57926 ÷ 217
    57926 ÷ 131072     		x = 0.441940307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89819 ÷ 217
    89819 ÷ 131072     		y = 0.685264587402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441940307617188 × 2 - 1) × π
    -0.116119384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36479981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685264587402344 × 2 - 1) × π
    -0.370529174804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.16405173347382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36479981} λ = -0.36479981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16405173347382))-π/2
    2×atan(0.312218588138043)-π/2
    2×0.302628472619431-π/2
    0.605256945238862-1.57079632675     		φ = -0.96553938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36479981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.901489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96553938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.321331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57926 KachelY 89819 -0.36479981 -0.96553938 -20.901489 -55.321331
    Oben rechts KachelX + 1 57927 KachelY 89819 -0.36475187 -0.96553938 -20.898743 -55.321331
    Unten links KachelX 57926 KachelY + 1 89820 -0.36479981 -0.96556666 -20.901489 -55.322894
    Unten rechts KachelX + 1 57927 KachelY + 1 89820 -0.36475187 -0.96556666 -20.898743 -55.322894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96553938--0.96556666) × R
    2.72800000000739e-05 × 6371000     		dl = 173.800880000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96553938--0.96556666) × R
    2.72800000000739e-05 × 6371000     		dr = 173.800880000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36479981--0.36475187) × cos(-0.96553938) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.56897339675905 × 6371000     		do = 173.779120745534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36479981--0.36475187) × cos(-0.96556666) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.568950962677598 × 6371000     		du = 173.772268799605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96553938)-sin(-0.96556666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56897339675905-0.568950962677598)×R²
    abs(-0.36475187--0.36479981)×2.24340814519719e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24340814519719e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24340814519719e-05×40589641000000     		ar = 30202.3686761245m²