Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57920 / 89829
↖ ↑ ↗
← S 55.336956°
W 20.917969°		 ← 173.71 m → S 55.336956°
W 20.915222°		 →
↑
173.67 m
↓
↑
173.67 m
↓
S 55.338518°
W 20.917969°		 ← 173.70 m →
30 168 m²		 S 55.338518°
W 20.915222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441898345947266 y=0.685344696044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441898345947266 × 217)
    floor (0.441898345947266 × 131072)
    floor (57920.5)     		tx = 57920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685344696044922 × 217)
    floor (0.685344696044922 × 131072)
    floor (89829.5)     		ty = 89829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57920 / 89829 ti = "17/57920/89829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57920/89829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57920 ÷ 217
    57920 ÷ 131072     		x = 0.44189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89829 ÷ 217
    89829 ÷ 131072     		y = 0.685340881347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44189453125 × 2 - 1) × π
    -0.1162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36508743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685340881347656 × 2 - 1) × π
    -0.370681762695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.16453110247002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36508743} λ = -0.36508743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16453110247002))-π/2
    2×atan(0.312068956094199)-π/2
    2×0.302492125395011-π/2
    0.604984250790022-1.57079632675     		φ = -0.96581208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36508743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.917969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96581208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.336956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57920 KachelY 89829 -0.36508743 -0.96581208 -20.917969 -55.336956
    Oben rechts KachelX + 1 57921 KachelY 89829 -0.36503949 -0.96581208 -20.915222 -55.336956
    Unten links KachelX 57920 KachelY + 1 89830 -0.36508743 -0.96583934 -20.917969 -55.338518
    Unten rechts KachelX + 1 57921 KachelY + 1 89830 -0.36503949 -0.96583934 -20.915222 -55.338518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96581208--0.96583934) × R
    2.72600000000844e-05 × 6371000     		dl = 173.673460000538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96581208--0.96583934) × R
    2.72600000000844e-05 × 6371000     		dr = 173.673460000538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36508743--0.36503949) × cos(-0.96581208) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.568749119144086 × 6371000     		do = 173.710620588817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36508743--0.36503949) × cos(-0.96583934) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.568726697281344 × 6371000     		du = 173.703772374797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96581208)-sin(-0.96583934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568749119144086-0.568726697281344)×R²
    abs(-0.36503949--0.36508743)×2.24218627417061e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24218627417061e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24218627417061e-05×40589641000000     		ar = 30168.3298419939m²