Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57920 / 89792
↖ ↑ ↗
← S 55.279115°
W 20.917969°		 ← 173.96 m → S 55.279115°
W 20.915222°		 →
↑
173.93 m
↓
↑
173.93 m
↓
S 55.280680°
W 20.917969°		 ← 173.96 m →
30 257 m²		 S 55.280680°
W 20.915222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441898345947266 y=0.685062408447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441898345947266 × 217)
    floor (0.441898345947266 × 131072)
    floor (57920.5)     		tx = 57920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685062408447266 × 217)
    floor (0.685062408447266 × 131072)
    floor (89792.5)     		ty = 89792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57920 / 89792 ti = "17/57920/89792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57920/89792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57920 ÷ 217
    57920 ÷ 131072     		x = 0.44189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89792 ÷ 217
    89792 ÷ 131072     		y = 0.68505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44189453125 × 2 - 1) × π
    -0.1162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36508743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68505859375 × 2 - 1) × π
    -0.3701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16275743718408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36508743} λ = -0.36508743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16275743718408))-π/2
    2×atan(0.312622953125861)-π/2
    2×0.302996878689303-π/2
    0.605993757378607-1.57079632675     		φ = -0.96480257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36508743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.917969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96480257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.279115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57920 KachelY 89792 -0.36508743 -0.96480257 -20.917969 -55.279115
    Oben rechts KachelX + 1 57921 KachelY 89792 -0.36503949 -0.96480257 -20.915222 -55.279115
    Unten links KachelX 57920 KachelY + 1 89793 -0.36508743 -0.96482987 -20.917969 -55.280680
    Unten rechts KachelX + 1 57921 KachelY + 1 89793 -0.36503949 -0.96482987 -20.915222 -55.280680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96480257--0.96482987) × R
    2.72999999999524e-05 × 6371000     		dl = 173.928299999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96480257--0.96482987) × R
    2.72999999999524e-05 × 6371000     		dr = 173.928299999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36508743--0.36503949) × cos(-0.96480257) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.569579162331506 × 6371000     		do = 173.964137143566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36508743--0.36503949) × cos(-0.96482987) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.569556723253342 × 6371000     		du = 173.957283671513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96480257)-sin(-0.96482987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569579162331506-0.569556723253342)×R²
    abs(-0.36503949--0.36508743)×2.24390781633499e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24390781633499e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24390781633499e-05×40589641000000     		ar = 30256.6906297582m²