Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57916 / 88804
↖ ↑ ↗
← S 53.703210°
W 20.928955°		 ← 180.80 m → S 53.703210°
W 20.926209°		 →
↑
180.81 m
↓
↑
180.81 m
↓
S 53.704836°
W 20.928955°		 ← 180.80 m →
32 690 m²		 S 53.704836°
W 20.926209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441867828369141 y=0.677524566650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441867828369141 × 217)
    floor (0.441867828369141 × 131072)
    floor (57916.5)     		tx = 57916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677524566650391 × 217)
    floor (0.677524566650391 × 131072)
    floor (88804.5)     		ty = 88804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57916 / 88804 ti = "17/57916/88804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57916/88804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57916 ÷ 217
    57916 ÷ 131072     		x = 0.441864013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88804 ÷ 217
    88804 ÷ 131072     		y = 0.677520751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441864013671875 × 2 - 1) × π
    -0.11627197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36527918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677520751953125 × 2 - 1) × π
    -0.35504150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11539578035947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36527918} λ = -0.36527918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11539578035947))-π/2
    2×atan(0.327785522151911)-π/2
    2×0.316749242062914-π/2
    0.633498484125828-1.57079632675     		φ = -0.93729784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36527918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.928955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93729784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.703210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57916 KachelY 88804 -0.36527918 -0.93729784 -20.928955 -53.703210
    Oben rechts KachelX + 1 57917 KachelY 88804 -0.36523124 -0.93729784 -20.926209 -53.703210
    Unten links KachelX 57916 KachelY + 1 88805 -0.36527918 -0.93732622 -20.928955 -53.704836
    Unten rechts KachelX + 1 57917 KachelY + 1 88805 -0.36523124 -0.93732622 -20.926209 -53.704836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93729784--0.93732622) × R
    2.8379999999939e-05 × 6371000     		dl = 180.808979999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93729784--0.93732622) × R
    2.8379999999939e-05 × 6371000     		dr = 180.808979999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36527918--0.36523124) × cos(-0.93729784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591968020355072 × 6371000     		do = 180.802270673164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36527918--0.36523124) × cos(-0.93732622) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591945146930661 × 6371000     		du = 180.795284540587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93729784)-sin(-0.93732622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591968020355072-0.591945146930661)×R²
    abs(-0.36523124--0.36527918)×2.28734244108741e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28734244108741e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28734244108741e-05×40589641000000     		ar = 32690.0425664226m²