Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57914 / 89813
↖ ↑ ↗
← S 55.311954°
W 20.934448°		 ← 173.82 m → S 55.311954°
W 20.931702°		 →
↑
173.80 m
↓
↑
173.80 m
↓
S 55.313517°
W 20.934448°		 ← 173.81 m →
30 210 m²		 S 55.313517°
W 20.931702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441852569580078 y=0.685222625732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441852569580078 × 217)
    floor (0.441852569580078 × 131072)
    floor (57914.5)     		tx = 57914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685222625732422 × 217)
    floor (0.685222625732422 × 131072)
    floor (89813.5)     		ty = 89813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57914 / 89813 ti = "17/57914/89813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57914/89813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57914 ÷ 217
    57914 ÷ 131072     		x = 0.441848754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89813 ÷ 217
    89813 ÷ 131072     		y = 0.685218811035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441848754882812 × 2 - 1) × π
    -0.116302490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36537505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685218811035156 × 2 - 1) × π
    -0.370437622070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.1637641120761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36537505} λ = -0.36537505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1637641120761))-π/2
    2×atan(0.312308401800304)-π/2
    2×0.302710306758319-π/2
    0.605420613516638-1.57079632675     		φ = -0.96537571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36537505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.934448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96537571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.311954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57914 KachelY 89813 -0.36537505 -0.96537571 -20.934448 -55.311954
    Oben rechts KachelX + 1 57915 KachelY 89813 -0.36532711 -0.96537571 -20.931702 -55.311954
    Unten links KachelX 57914 KachelY + 1 89814 -0.36537505 -0.96540299 -20.934448 -55.313517
    Unten rechts KachelX + 1 57915 KachelY + 1 89814 -0.36532711 -0.96540299 -20.931702 -55.313517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96537571--0.96540299) × R
    2.72799999999629e-05 × 6371000     		dl = 173.800879999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96537571--0.96540299) × R
    2.72799999999629e-05 × 6371000     		dr = 173.800879999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36537505--0.36532711) × cos(-0.96537571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.569107984132538 × 6371000     		do = 173.820227193475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36537505--0.36532711) × cos(-0.96540299) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.569085552591756 × 6371000     		du = 173.813376023532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96537571)-sin(-0.96540299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569107984132538-0.569085552591756)×R²
    abs(-0.36532711--0.36537505)×2.24315407820752e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24315407820752e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24315407820752e-05×40589641000000     		ar = 30209.5130800688m²