Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57914 / 89810
↖ ↑ ↗
← S 55.307264°
W 20.934448°		 ← 173.84 m → S 55.307264°
W 20.931702°		 →
↑
173.86 m
↓
↑
173.86 m
↓
S 55.308828°
W 20.934448°		 ← 173.83 m →
30 224 m²		 S 55.308828°
W 20.931702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441852569580078 y=0.685199737548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441852569580078 × 217)
    floor (0.441852569580078 × 131072)
    floor (57914.5)     		tx = 57914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685199737548828 × 217)
    floor (0.685199737548828 × 131072)
    floor (89810.5)     		ty = 89810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57914 / 89810 ti = "17/57914/89810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57914/89810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57914 ÷ 217
    57914 ÷ 131072     		x = 0.441848754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89810 ÷ 217
    89810 ÷ 131072     		y = 0.685195922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441848754882812 × 2 - 1) × π
    -0.116302490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36537505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685195922851562 × 2 - 1) × π
    -0.370391845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16362030137724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36537505} λ = -0.36537505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16362030137724))-π/2
    2×atan(0.312353318319487)-π/2
    2×0.302751231086149-π/2
    0.605502462172298-1.57079632675     		φ = -0.96529386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36537505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.934448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96529386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.307264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57914 KachelY 89810 -0.36537505 -0.96529386 -20.934448 -55.307264
    Oben rechts KachelX + 1 57915 KachelY 89810 -0.36532711 -0.96529386 -20.931702 -55.307264
    Unten links KachelX 57914 KachelY + 1 89811 -0.36537505 -0.96532115 -20.934448 -55.308828
    Unten rechts KachelX + 1 57915 KachelY + 1 89811 -0.36532711 -0.96532115 -20.931702 -55.308828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96529386--0.96532115) × R
    2.72900000000131e-05 × 6371000     		dl = 173.864590000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96529386--0.96532115) × R
    2.72900000000131e-05 × 6371000     		dr = 173.864590000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36537505--0.36532711) × cos(-0.96529386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.569175284435805 × 6371000     		do = 173.840782438402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36537505--0.36532711) × cos(-0.96532115) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.569152845943498 × 6371000     		du = 173.833929145285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96529386)-sin(-0.96532115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569175284435805-0.569152845943498)×R²
    abs(-0.36532711--0.36537505)×2.24384923065424e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24384923065424e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24384923065424e-05×40589641000000     		ar = 30224.1605933027m²