Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57909 / 89841
↖ ↑ ↗
← S 55.355697°
W 20.948181°		 ← 173.59 m → S 55.355697°
W 20.945435°		 →
↑
173.61 m
↓
↑
173.61 m
↓
S 55.357258°
W 20.948181°		 ← 173.59 m →
30 137 m²		 S 55.357258°
W 20.945435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441814422607422 y=0.685436248779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441814422607422 × 217)
    floor (0.441814422607422 × 131072)
    floor (57909.5)     		tx = 57909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685436248779297 × 217)
    floor (0.685436248779297 × 131072)
    floor (89841.5)     		ty = 89841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57909 / 89841 ti = "17/57909/89841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57909/89841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57909 ÷ 217
    57909 ÷ 131072     		x = 0.441810607910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89841 ÷ 217
    89841 ÷ 131072     		y = 0.685432434082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441810607910156 × 2 - 1) × π
    -0.116378784179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.36561473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685432434082031 × 2 - 1) × π
    -0.370864868164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.16510634526546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36561473} λ = -0.36561473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16510634526546))-π/2
    2×atan(0.311889492298102)-π/2
    2×0.302328579673736-π/2
    0.604657159347472-1.57079632675     		φ = -0.96613917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36561473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.948181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96613917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.355697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57909 KachelY 89841 -0.36561473 -0.96613917 -20.948181 -55.355697
    Oben rechts KachelX + 1 57910 KachelY 89841 -0.36556680 -0.96613917 -20.945435 -55.355697
    Unten links KachelX 57909 KachelY + 1 89842 -0.36561473 -0.96616642 -20.948181 -55.357258
    Unten rechts KachelX + 1 57910 KachelY + 1 89842 -0.36556680 -0.96616642 -20.945435 -55.357258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96613917--0.96616642) × R
    2.72499999999232e-05 × 6371000     		dl = 173.609749999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96613917--0.96616642) × R
    2.72499999999232e-05 × 6371000     		dr = 173.609749999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36561473--0.36556680) × cos(-0.96613917) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.568480053582505 × 6371000     		do = 173.592223176368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36561473--0.36556680) × cos(-0.96616642) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.568457634876952 × 6371000     		du = 173.58537735493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96613917)-sin(-0.96616642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568480053582505-0.568457634876952)×R²
    abs(-0.36556680--0.36561473)×2.24187055530845e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.24187055530845e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.24187055530845e-05×40589641000000     		ar = 30136.7082186605m²