Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57905 / 90193
↖ ↑ ↗
← S 55.901496°
W 20.959167°		 ← 171.23 m → S 55.901496°
W 20.956421°		 →
↑
171.19 m
↓
↑
171.19 m
↓
S 55.903035°
W 20.959167°		 ← 171.22 m →
29 312 m²		 S 55.903035°
W 20.956421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441783905029297 y=0.688121795654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441783905029297 × 217)
    floor (0.441783905029297 × 131072)
    floor (57905.5)     		tx = 57905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688121795654297 × 217)
    floor (0.688121795654297 × 131072)
    floor (90193.5)     		ty = 90193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57905 / 90193 ti = "17/57905/90193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57905/90193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57905 ÷ 217
    57905 ÷ 131072     		x = 0.441780090332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90193 ÷ 217
    90193 ÷ 131072     		y = 0.688117980957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441780090332031 × 2 - 1) × π
    -0.116439819335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.36580648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688117980957031 × 2 - 1) × π
    -0.376235961914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.18198013393172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36580648} λ = -0.36580648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18198013393172))-π/2
    2×atan(0.306670887556181)-π/2
    2×0.297565582793612-π/2
    0.595131165587223-1.57079632675     		φ = -0.97566516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36580648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.959167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97566516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.901496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57905 KachelY 90193 -0.36580648 -0.97566516 -20.959167 -55.901496
    Oben rechts KachelX + 1 57906 KachelY 90193 -0.36575854 -0.97566516 -20.956421 -55.901496
    Unten links KachelX 57905 KachelY + 1 90194 -0.36580648 -0.97569203 -20.959167 -55.903035
    Unten rechts KachelX + 1 57906 KachelY + 1 90194 -0.36575854 -0.97569203 -20.956421 -55.903035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97566516--0.97569203) × R
    2.68700000000122e-05 × 6371000     		dl = 171.188770000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97566516--0.97569203) × R
    2.68700000000122e-05 × 6371000     		dr = 171.188770000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36580648--0.36575854) × cos(-0.97566516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.560617375261024 × 6371000     		do = 171.226976695844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36580648--0.36575854) × cos(-0.97569203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.560595124684158 × 6371000     		du = 171.220180796939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97566516)-sin(-0.97569203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560617375261024-0.560595124684158)×R²
    abs(-0.36575854--0.36580648)×2.22505768656678e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22505768656678e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22505768656678e-05×40589641000000     		ar = 29311.5538422747m²