Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57903 / 91630
↖ ↑ ↗
← S 58.051725°
W 20.964660°		 ← 161.58 m → S 58.051725°
W 20.961914°		 →
↑
161.63 m
↓
↑
161.63 m
↓
S 58.053179°
W 20.964660°		 ← 161.58 m →
26 117 m²		 S 58.053179°
W 20.961914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 91630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441768646240234 y=0.699085235595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441768646240234 × 217)
    floor (0.441768646240234 × 131072)
    floor (57903.5)     		tx = 57903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699085235595703 × 217)
    floor (0.699085235595703 × 131072)
    floor (91630.5)     		ty = 91630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57903 / 91630 ti = "17/57903/91630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57903/91630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57903 ÷ 217
    57903 ÷ 131072     		x = 0.441764831542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 91630 ÷ 217
    91630 ÷ 131072     		y = 0.699081420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441764831542969 × 2 - 1) × π
    -0.116470336914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.36590235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699081420898438 × 2 - 1) × π
    -0.398162841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.25086545868575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36590235} λ = -0.36590235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25086545868575))-π/2
    2×atan(0.286256946063023)-π/2
    2×0.27880129190756-π/2
    0.557602583815119-1.57079632675     		φ = -1.01319374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36590235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.964660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01319374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.051725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57903 KachelY 91630 -0.36590235 -1.01319374 -20.964660 -58.051725
    Oben rechts KachelX + 1 57904 KachelY 91630 -0.36585442 -1.01319374 -20.961914 -58.051725
    Unten links KachelX 57903 KachelY + 1 91631 -0.36590235 -1.01321911 -20.964660 -58.053179
    Unten rechts KachelX + 1 57904 KachelY + 1 91631 -0.36585442 -1.01321911 -20.961914 -58.053179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01319374--1.01321911) × R
    2.53700000001356e-05 × 6371000     		dl = 161.632270000864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01319374--1.01321911) × R
    2.53700000001356e-05 × 6371000     		dr = 161.632270000864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36590235--0.36585442) × cos(-1.01319374) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.52915345275589 × 6371000     		do = 161.583372514959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36590235--0.36585442) × cos(-1.01321911) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.529131925477232 × 6371000     		du = 161.576798901448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01319374)-sin(-1.01321911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52915345275589-0.529131925477232)×R²
    abs(-0.36585442--0.36590235)×2.15272786578957e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.15272786578957e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.15272786578957e-05×40589641000000     		ar = 26116.5560412087m²