Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57902 / 88769
↖ ↑ ↗
← S 53.646266°
W 20.967407°		 ← 181.05 m → S 53.646266°
W 20.964660°		 →
↑
181.06 m
↓
↑
181.06 m
↓
S 53.647894°
W 20.967407°		 ← 181.04 m →
32 780 m²		 S 53.647894°
W 20.964660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441761016845703 y=0.677257537841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441761016845703 × 217)
    floor (0.441761016845703 × 131072)
    floor (57902.5)     		tx = 57902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677257537841797 × 217)
    floor (0.677257537841797 × 131072)
    floor (88769.5)     		ty = 88769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57902 / 88769 ti = "17/57902/88769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57902/88769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57902 ÷ 217
    57902 ÷ 131072     		x = 0.441757202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88769 ÷ 217
    88769 ÷ 131072     		y = 0.677253723144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441757202148438 × 2 - 1) × π
    -0.116485595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36595029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677253723144531 × 2 - 1) × π
    -0.354507446289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.11371798887276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36595029} λ = -0.36595029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11371798887276))-π/2
    2×atan(0.328335939524114)-π/2
    2×0.317246177342841-π/2
    0.634492354685682-1.57079632675     		φ = -0.93630397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36595029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.967407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93630397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.646266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57902 KachelY 88769 -0.36595029 -0.93630397 -20.967407 -53.646266
    Oben rechts KachelX + 1 57903 KachelY 88769 -0.36590235 -0.93630397 -20.964660 -53.646266
    Unten links KachelX 57902 KachelY + 1 88770 -0.36595029 -0.93633239 -20.967407 -53.647894
    Unten rechts KachelX + 1 57903 KachelY + 1 88770 -0.36590235 -0.93633239 -20.964660 -53.647894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93630397--0.93633239) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dl = 181.063820000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93630397--0.93633239) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dr = 181.063820000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36595029--0.36590235) × cos(-0.93630397) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.592768748765628 × 6371000     		do = 181.046833740707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36595029--0.36590235) × cos(-0.93633239) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.592745859833675 × 6371000     		du = 181.039842871727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93630397)-sin(-0.93633239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592768748765628-0.592745859833675)×R²
    abs(-0.36590235--0.36595029)×2.28889319532355e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28889319532355e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28889319532355e-05×40589641000000     		ar = 32780.398421513m²