Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57899 / 89768
↖ ↑ ↗
← S 55.241552°
W 20.975647°		 ← 174.09 m → S 55.241552°
W 20.972901°		 →
↑
174.12 m
↓
↑
174.12 m
↓
S 55.243118°
W 20.975647°		 ← 174.09 m →
30 312 m²		 S 55.243118°
W 20.972901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441738128662109 y=0.684879302978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441738128662109 × 217)
    floor (0.441738128662109 × 131072)
    floor (57899.5)     		tx = 57899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684879302978516 × 217)
    floor (0.684879302978516 × 131072)
    floor (89768.5)     		ty = 89768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57899 / 89768 ti = "17/57899/89768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57899/89768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57899 ÷ 217
    57899 ÷ 131072     		x = 0.441734313964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89768 ÷ 217
    89768 ÷ 131072     		y = 0.68487548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441734313964844 × 2 - 1) × π
    -0.116531372070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.36609410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68487548828125 × 2 - 1) × π
    -0.3697509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1616069515932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36609410} λ = -0.36609410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1616069515932))-π/2
    2×atan(0.31298282830472)-π/2
    2×0.303324679939957-π/2
    0.606649359879913-1.57079632675     		φ = -0.96414697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36609410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.975647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96414697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.241552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57899 KachelY 89768 -0.36609410 -0.96414697 -20.975647 -55.241552
    Oben rechts KachelX + 1 57900 KachelY 89768 -0.36604617 -0.96414697 -20.972901 -55.241552
    Unten links KachelX 57899 KachelY + 1 89769 -0.36609410 -0.96417430 -20.975647 -55.243118
    Unten rechts KachelX + 1 57900 KachelY + 1 89769 -0.36604617 -0.96417430 -20.972901 -55.243118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96414697--0.96417430) × R
    2.73299999999921e-05 × 6371000     		dl = 174.11942999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96414697--0.96417430) × R
    2.73299999999921e-05 × 6371000     		dr = 174.11942999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36609410--0.36604617) × cos(-0.96414697) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.570117901443672 × 6371000     		do = 174.092359724084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36609410--0.36604617) × cos(-0.96417430) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.570095447917035 × 6371000     		du = 174.08550326961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96414697)-sin(-0.96417430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570117901443672-0.570095447917035)×R²
    abs(-0.36604617--0.36609410)×2.24535266368786e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.24535266368786e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.24535266368786e-05×40589641000000     		ar = 30312.2655234297m²