Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57897 / 90152
↖ ↑ ↗
← S 55.838314°
W 20.981140°		 ← 171.51 m → S 55.838314°
W 20.978394°		 →
↑
171.51 m
↓
↑
171.51 m
↓
S 55.839856°
W 20.981140°		 ← 171.50 m →
29 414 m²		 S 55.839856°
W 20.978394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441722869873047 y=0.687808990478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441722869873047 × 217)
    floor (0.441722869873047 × 131072)
    floor (57897.5)     		tx = 57897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687808990478516 × 217)
    floor (0.687808990478516 × 131072)
    floor (90152.5)     		ty = 90152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57897 / 90152 ti = "17/57897/90152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57897/90152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57897 ÷ 217
    57897 ÷ 131072     		x = 0.441719055175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90152 ÷ 217
    90152 ÷ 131072     		y = 0.68780517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441719055175781 × 2 - 1) × π
    -0.116561889648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.36618998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68780517578125 × 2 - 1) × π
    -0.3756103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1800147210473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36618998} λ = -0.36618998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1800147210473))-π/2
    2×atan(0.30727421516958)-π/2
    2×0.298116953546088-π/2
    0.596233907092176-1.57079632675     		φ = -0.97456242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36618998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.981140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97456242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.838314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57897 KachelY 90152 -0.36618998 -0.97456242 -20.981140 -55.838314
    Oben rechts KachelX + 1 57898 KachelY 90152 -0.36614204 -0.97456242 -20.978394 -55.838314
    Unten links KachelX 57897 KachelY + 1 90153 -0.36618998 -0.97458934 -20.981140 -55.839856
    Unten rechts KachelX + 1 57898 KachelY + 1 90153 -0.36614204 -0.97458934 -20.978394 -55.839856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97456242--0.97458934) × R
    2.69199999999303e-05 × 6371000     		dl = 171.507319999556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97456242--0.97458934) × R
    2.69199999999303e-05 × 6371000     		dr = 171.507319999556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36618998--0.36614204) × cos(-0.97456242) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.561530185604829 × 6371000     		do = 171.505772470778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36618998--0.36614204) × cos(-0.97458934) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.561507910279034 × 6371000     		du = 171.498969012914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97456242)-sin(-0.97458934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561530185604829-0.561507910279034)×R²
    abs(-0.36614204--0.36618998)×2.22753257951291e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22753257951291e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22753257951291e-05×40589641000000     		ar = 29413.911981327m²