Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57892 / 90164
↖ ↑ ↗
← S 55.856817°
W 20.994873°		 ← 171.42 m → S 55.856817°
W 20.992126°		 →
↑
171.38 m
↓
↑
171.38 m
↓
S 55.858358°
W 20.994873°		 ← 171.42 m →
29 378 m²		 S 55.858358°
W 20.992126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441684722900391 y=0.687900543212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441684722900391 × 217)
    floor (0.441684722900391 × 131072)
    floor (57892.5)     		tx = 57892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687900543212891 × 217)
    floor (0.687900543212891 × 131072)
    floor (90164.5)     		ty = 90164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57892 / 90164 ti = "17/57892/90164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57892/90164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57892 ÷ 217
    57892 ÷ 131072     		x = 0.441680908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90164 ÷ 217
    90164 ÷ 131072     		y = 0.687896728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441680908203125 × 2 - 1) × π
    -0.11663818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36642966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687896728515625 × 2 - 1) × π
    -0.37579345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.18058996384274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36642966} λ = -0.36642966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18058996384274))-π/2
    2×atan(0.307097508720508)-π/2
    2×0.297955483883858-π/2
    0.595910967767717-1.57079632675     		φ = -0.97488536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36642966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.994873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97488536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.856817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57892 KachelY 90164 -0.36642966 -0.97488536 -20.994873 -55.856817
    Oben rechts KachelX + 1 57893 KachelY 90164 -0.36638172 -0.97488536 -20.992126 -55.856817
    Unten links KachelX 57892 KachelY + 1 90165 -0.36642966 -0.97491226 -20.994873 -55.858358
    Unten rechts KachelX + 1 57893 KachelY + 1 90165 -0.36638172 -0.97491226 -20.992126 -55.858358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97488536--0.97491226) × R
    2.68999999999409e-05 × 6371000     		dl = 171.379899999623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97488536--0.97491226) × R
    2.68999999999409e-05 × 6371000     		dr = 171.379899999623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36642966--0.36638172) × cos(-0.97488536) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.561262937606065 × 6371000     		do = 171.424148052794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36642966--0.36638172) × cos(-0.97491226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.561240673952894 × 6371000     		du = 171.417348160049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97488536)-sin(-0.97491226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561262937606065-0.561240673952894)×R²
    abs(-0.36638172--0.36642966)×2.22636531713727e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22636531713727e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22636531713727e-05×40589641000000     		ar = 29378.0706700719m²