Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57887 / 89825
↖ ↑ ↗
← S 55.330707°
W 21.008606°		 ← 173.74 m → S 55.330707°
W 21.005859°		 →
↑
173.74 m
↓
↑
173.74 m
↓
S 55.332269°
W 21.008606°		 ← 173.73 m →
30 184 m²		 S 55.332269°
W 21.005859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441646575927734 y=0.685314178466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441646575927734 × 217)
    floor (0.441646575927734 × 131072)
    floor (57887.5)     		tx = 57887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685314178466797 × 217)
    floor (0.685314178466797 × 131072)
    floor (89825.5)     		ty = 89825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57887 / 89825 ti = "17/57887/89825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57887/89825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57887 ÷ 217
    57887 ÷ 131072     		x = 0.441642761230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89825 ÷ 217
    89825 ÷ 131072     		y = 0.685310363769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441642761230469 × 2 - 1) × π
    -0.116714477539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.36666935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685310363769531 × 2 - 1) × π
    -0.370620727539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.16433935487154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36666935} λ = -0.36666935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16433935487154))-π/2
    2×atan(0.312128800304399)-π/2
    2×0.30254665783425-π/2
    0.605093315668501-1.57079632675     		φ = -0.96570301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36666935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.008606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96570301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.330707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57887 KachelY 89825 -0.36666935 -0.96570301 -21.008606 -55.330707
    Oben rechts KachelX + 1 57888 KachelY 89825 -0.36662141 -0.96570301 -21.005859 -55.330707
    Unten links KachelX 57887 KachelY + 1 89826 -0.36666935 -0.96573028 -21.008606 -55.332269
    Unten rechts KachelX + 1 57888 KachelY + 1 89826 -0.36662141 -0.96573028 -21.005859 -55.332269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96570301--0.96573028) × R
    2.72700000000237e-05 × 6371000     		dl = 173.737170000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96570301--0.96573028) × R
    2.72700000000237e-05 × 6371000     		dr = 173.737170000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36666935--0.36662141) × cos(-0.96570301) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.568838827041938 × 6371000     		do = 173.738019690103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36666935--0.36662141) × cos(-0.96573028) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.568816398645684 × 6371000     		du = 173.73116948058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96570301)-sin(-0.96573028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568838827041938-0.568816398645684)×R²
    abs(-0.36662141--0.36666935)×2.2428396254548e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2428396254548e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2428396254548e-05×40589641000000     		ar = 30184.1567961546m²