Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57887 / 89779
↖ ↑ ↗
← S 55.258773°
W 21.008606°		 ← 174.05 m → S 55.258773°
W 21.005859°		 →
↑
174.06 m
↓
↑
174.06 m
↓
S 55.260338°
W 21.008606°		 ← 174.05 m →
30 294 m²		 S 55.260338°
W 21.005859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441646575927734 y=0.684963226318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441646575927734 × 217)
    floor (0.441646575927734 × 131072)
    floor (57887.5)     		tx = 57887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684963226318359 × 217)
    floor (0.684963226318359 × 131072)
    floor (89779.5)     		ty = 89779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57887 / 89779 ti = "17/57887/89779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57887/89779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57887 ÷ 217
    57887 ÷ 131072     		x = 0.441642761230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89779 ÷ 217
    89779 ÷ 131072     		y = 0.684959411621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441642761230469 × 2 - 1) × π
    -0.116714477539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.36666935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684959411621094 × 2 - 1) × π
    -0.369918823242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.16213425748902
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36666935} λ = -0.36666935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16213425748902))-π/2
    2×atan(0.312817834119091)-π/2
    2×0.303174399230455-π/2
    0.60634879846091-1.57079632675     		φ = -0.96444753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36666935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.008606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96444753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.258773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57887 KachelY 89779 -0.36666935 -0.96444753 -21.008606 -55.258773
    Oben rechts KachelX + 1 57888 KachelY 89779 -0.36662141 -0.96444753 -21.005859 -55.258773
    Unten links KachelX 57887 KachelY + 1 89780 -0.36666935 -0.96447485 -21.008606 -55.260338
    Unten rechts KachelX + 1 57888 KachelY + 1 89780 -0.36662141 -0.96447485 -21.005859 -55.260338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96444753--0.96447485) × R
    2.73199999999418e-05 × 6371000     		dl = 174.055719999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96444753--0.96447485) × R
    2.73199999999418e-05 × 6371000     		dr = 174.055719999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36666935--0.36662141) × cos(-0.96444753) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.569870946754686 × 6371000     		do = 174.053255617138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36666935--0.36662141) × cos(-0.96447485) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.569848496763531 × 6371000     		du = 174.046398811977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96444753)-sin(-0.96447485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569870946754686-0.569848496763531)×R²
    abs(-0.36662141--0.36666935)×2.24499911548603e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24499911548603e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24499911548603e-05×40589641000000     		ar = 30294.3679933854m²