Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57884 / 89778
↖ ↑ ↗
← S 55.257208°
W 21.016846°		 ← 174.06 m → S 55.257208°
W 21.014099°		 →
↑
174.06 m
↓
↑
174.06 m
↓
S 55.258773°
W 21.016846°		 ← 174.05 m →
30 296 m²		 S 55.258773°
W 21.014099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441623687744141 y=0.684955596923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441623687744141 × 217)
    floor (0.441623687744141 × 131072)
    floor (57884.5)     		tx = 57884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684955596923828 × 217)
    floor (0.684955596923828 × 131072)
    floor (89778.5)     		ty = 89778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57884 / 89778 ti = "17/57884/89778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57884/89778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57884 ÷ 217
    57884 ÷ 131072     		x = 0.441619873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89778 ÷ 217
    89778 ÷ 131072     		y = 0.684951782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441619873046875 × 2 - 1) × π
    -0.11676025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36681316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684951782226562 × 2 - 1) × π
    -0.369903564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1620863205894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36681316} λ = -0.36681316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1620863205894))-π/2
    2×atan(0.31283282999563)-π/2
    2×0.303188058422697-π/2
    0.606376116845395-1.57079632675     		φ = -0.96442021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36681316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.016846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96442021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.257208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57884 KachelY 89778 -0.36681316 -0.96442021 -21.016846 -55.257208
    Oben rechts KachelX + 1 57885 KachelY 89778 -0.36676522 -0.96442021 -21.014099 -55.257208
    Unten links KachelX 57884 KachelY + 1 89779 -0.36681316 -0.96444753 -21.016846 -55.258773
    Unten rechts KachelX + 1 57885 KachelY + 1 89779 -0.36676522 -0.96444753 -21.014099 -55.258773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96442021--0.96444753) × R
    2.73200000000529e-05 × 6371000     		dl = 174.055720000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96442021--0.96444753) × R
    2.73200000000529e-05 × 6371000     		dr = 174.055720000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36681316--0.36676522) × cos(-0.96442021) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.5698933963205 × 6371000     		do = 174.060112292389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36681316--0.36676522) × cos(-0.96444753) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.569870946754686 × 6371000     		du = 174.053255617138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96442021)-sin(-0.96444753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5698933963205-0.569870946754686)×R²
    abs(-0.36676522--0.36681316)×2.24495658133206e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24495658133206e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24495658133206e-05×40589641000000     		ar = 30295.5614484467m²