Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57880 / 90264
↖ ↑ ↗
← S 56.010667°
W 21.027832°		 ← 170.71 m → S 56.010667°
W 21.025086°		 →
↑
170.68 m
↓
↑
170.68 m
↓
S 56.012202°
W 21.027832°		 ← 170.70 m →
29 136 m²		 S 56.012202°
W 21.025086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441593170166016 y=0.688663482666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441593170166016 × 217)
    floor (0.441593170166016 × 131072)
    floor (57880.5)     		tx = 57880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688663482666016 × 217)
    floor (0.688663482666016 × 131072)
    floor (90264.5)     		ty = 90264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57880 / 90264 ti = "17/57880/90264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57880/90264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57880 ÷ 217
    57880 ÷ 131072     		x = 0.44158935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90264 ÷ 217
    90264 ÷ 131072     		y = 0.68865966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44158935546875 × 2 - 1) × π
    -0.1168212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36700490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68865966796875 × 2 - 1) × π
    -0.3773193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.18538365380475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36700490} λ = -0.36700490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18538365380475))-π/2
    2×atan(0.305628901312209)-π/2
    2×0.296612890334422-π/2
    0.593225780668845-1.57079632675     		φ = -0.97757055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36700490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.027832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97757055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.010667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57880 KachelY 90264 -0.36700490 -0.97757055 -21.027832 -56.010667
    Oben rechts KachelX + 1 57881 KachelY 90264 -0.36695697 -0.97757055 -21.025086 -56.010667
    Unten links KachelX 57880 KachelY + 1 90265 -0.36700490 -0.97759734 -21.027832 -56.012202
    Unten rechts KachelX + 1 57881 KachelY + 1 90265 -0.36695697 -0.97759734 -21.025086 -56.012202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97757055--0.97759734) × R
    2.67899999999432e-05 × 6371000     		dl = 170.679089999638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97757055--0.97759734) × R
    2.67899999999432e-05 × 6371000     		dr = 170.679089999638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36700490--0.36695697) × cos(-0.97757055) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.559038552782153 × 6371000     		do = 170.709147325925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36700490--0.36695697) × cos(-0.97759734) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.559016339876405 × 6371000     		du = 170.702364347933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97757055)-sin(-0.97759734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559038552782153-0.559016339876405)×R²
    abs(-0.36695697--0.36700490)×2.22129057479981e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.22129057479981e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.22129057479981e-05×40589641000000     		ar = 29135.9030656802m²