Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57879 / 89751
↖ ↑ ↗
← S 55.214923°
W 21.030579°		 ← 174.25 m → S 55.214923°
W 21.027832°		 →
↑
174.18 m
↓
↑
174.18 m
↓
S 55.216490°
W 21.030579°		 ← 174.24 m →
30 350 m²		 S 55.216490°
W 21.027832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441585540771484 y=0.684749603271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441585540771484 × 217)
    floor (0.441585540771484 × 131072)
    floor (57879.5)     		tx = 57879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684749603271484 × 217)
    floor (0.684749603271484 × 131072)
    floor (89751.5)     		ty = 89751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57879 / 89751 ti = "17/57879/89751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57879/89751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57879 ÷ 217
    57879 ÷ 131072     		x = 0.441581726074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89751 ÷ 217
    89751 ÷ 131072     		y = 0.684745788574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441581726074219 × 2 - 1) × π
    -0.116836547851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.36705284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684745788574219 × 2 - 1) × π
    -0.369491577148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.16079202429966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36705284} λ = -0.36705284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16079202429966))-π/2
    2×atan(0.313237990509116)-π/2
    2×0.303557060034024-π/2
    0.607114120068048-1.57079632675     		φ = -0.96368221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36705284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.030579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96368221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.214923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57879 KachelY 89751 -0.36705284 -0.96368221 -21.030579 -55.214923
    Oben rechts KachelX + 1 57880 KachelY 89751 -0.36700490 -0.96368221 -21.027832 -55.214923
    Unten links KachelX 57879 KachelY + 1 89752 -0.36705284 -0.96370955 -21.030579 -55.216490
    Unten rechts KachelX + 1 57880 KachelY + 1 89752 -0.36700490 -0.96370955 -21.027832 -55.216490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96368221--0.96370955) × R
    2.73400000000423e-05 × 6371000     		dl = 174.18314000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96368221--0.96370955) × R
    2.73400000000423e-05 × 6371000     		dr = 174.18314000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36705284--0.36700490) × cos(-0.96368221) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.570499669424353 × 6371000     		do = 174.245283703574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36705284--0.36700490) × cos(-0.96370955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.57047721492844 × 6371000     		du = 174.238425522544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96368221)-sin(-0.96370955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570499669424353-0.57047721492844)×R²
    abs(-0.36700490--0.36705284)×2.24544959137596e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24544959137596e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24544959137596e-05×40589641000000     		ar = 30349.9933578984m²