Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57876 / 90163
↖ ↑ ↗
← S 55.855275°
W 21.038818°		 ← 171.43 m → S 55.855275°
W 21.036072°		 →
↑
171.44 m
↓
↑
171.44 m
↓
S 55.856817°
W 21.038818°		 ← 171.42 m →
29 390 m²		 S 55.856817°
W 21.036072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441562652587891 y=0.687892913818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441562652587891 × 217)
    floor (0.441562652587891 × 131072)
    floor (57876.5)     		tx = 57876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687892913818359 × 217)
    floor (0.687892913818359 × 131072)
    floor (90163.5)     		ty = 90163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57876 / 90163 ti = "17/57876/90163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57876/90163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57876 ÷ 217
    57876 ÷ 131072     		x = 0.441558837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90163 ÷ 217
    90163 ÷ 131072     		y = 0.687889099121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441558837890625 × 2 - 1) × π
    -0.11688232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36719665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687889099121094 × 2 - 1) × π
    -0.375778198242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.18054202694312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36719665} λ = -0.36719665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18054202694312))-π/2
    2×atan(0.307112230375809)-π/2
    2×0.297968936753292-π/2
    0.595937873506583-1.57079632675     		φ = -0.97485845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36719665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.038818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97485845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.855275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57876 KachelY 90163 -0.36719665 -0.97485845 -21.038818 -55.855275
    Oben rechts KachelX + 1 57877 KachelY 90163 -0.36714871 -0.97485845 -21.036072 -55.855275
    Unten links KachelX 57876 KachelY + 1 90164 -0.36719665 -0.97488536 -21.038818 -55.856817
    Unten rechts KachelX + 1 57877 KachelY + 1 90164 -0.36714871 -0.97488536 -21.036072 -55.856817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97485845--0.97488536) × R
    2.69099999999911e-05 × 6371000     		dl = 171.443609999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97485845--0.97488536) × R
    2.69099999999911e-05 × 6371000     		dr = 171.443609999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36719665--0.36714871) × cos(-0.97485845) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.561285209129326 × 6371000     		do = 171.430950349465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36719665--0.36714871) × cos(-0.97488536) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.561262937606065 × 6371000     		du = 171.424148052992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97485845)-sin(-0.97488536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561285209129326-0.561262937606065)×R²
    abs(-0.36714871--0.36719665)×2.22715232605086e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22715232605086e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22715232605086e-05×40589641000000     		ar = 29390.1578902658m²