Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57876 / 89823
↖ ↑ ↗
← S 55.327582°
W 21.038818°		 ← 173.75 m → S 55.327582°
W 21.036072°		 →
↑
173.74 m
↓
↑
173.74 m
↓
S 55.329144°
W 21.038818°		 ← 173.74 m →
30 187 m²		 S 55.329144°
W 21.036072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441562652587891 y=0.685298919677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441562652587891 × 217)
    floor (0.441562652587891 × 131072)
    floor (57876.5)     		tx = 57876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685298919677734 × 217)
    floor (0.685298919677734 × 131072)
    floor (89823.5)     		ty = 89823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57876 / 89823 ti = "17/57876/89823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57876/89823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57876 ÷ 217
    57876 ÷ 131072     		x = 0.441558837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89823 ÷ 217
    89823 ÷ 131072     		y = 0.685295104980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441558837890625 × 2 - 1) × π
    -0.11688232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36719665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685295104980469 × 2 - 1) × π
    -0.370590209960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.1642434810723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36719665} λ = -0.36719665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1642434810723))-π/2
    2×atan(0.312158726712893)-π/2
    2×0.302573927279046-π/2
    0.605147854558092-1.57079632675     		φ = -0.96564847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36719665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.038818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96564847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.327582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57876 KachelY 89823 -0.36719665 -0.96564847 -21.038818 -55.327582
    Oben rechts KachelX + 1 57877 KachelY 89823 -0.36714871 -0.96564847 -21.036072 -55.327582
    Unten links KachelX 57876 KachelY + 1 89824 -0.36719665 -0.96567574 -21.038818 -55.329144
    Unten rechts KachelX + 1 57877 KachelY + 1 89824 -0.36714871 -0.96567574 -21.036072 -55.329144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96564847--0.96567574) × R
    2.72700000000237e-05 × 6371000     		dl = 173.737170000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96564847--0.96567574) × R
    2.72700000000237e-05 × 6371000     		dr = 173.737170000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36719665--0.36714871) × cos(-0.96564847) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.568883682565375 × 6371000     		do = 173.751719721542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36719665--0.36714871) × cos(-0.96567574) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.568861255015174 × 6371000     		du = 173.744869770426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96564847)-sin(-0.96567574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568883682565375-0.568861255015174)×R²
    abs(-0.36714871--0.36719665)×2.24275502006543e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24275502006543e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24275502006543e-05×40589641000000     		ar = 30186.5370234606m²