Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57872 / 90158
↖ ↑ ↗
← S 55.847566°
W 21.049805°		 ← 171.46 m → S 55.847566°
W 21.047058°		 →
↑
171.44 m
↓
↑
171.44 m
↓
S 55.849108°
W 21.049805°		 ← 171.46 m →
29 396 m²		 S 55.849108°
W 21.047058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441532135009766 y=0.687854766845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441532135009766 × 217)
    floor (0.441532135009766 × 131072)
    floor (57872.5)     		tx = 57872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687854766845703 × 217)
    floor (0.687854766845703 × 131072)
    floor (90158.5)     		ty = 90158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57872 / 90158 ti = "17/57872/90158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57872/90158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57872 ÷ 217
    57872 ÷ 131072     		x = 0.4415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90158 ÷ 217
    90158 ÷ 131072     		y = 0.687850952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36738840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687850952148438 × 2 - 1) × π
    -0.375701904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18030234244502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36738840} λ = -0.36738840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18030234244502))-π/2
    2×atan(0.307185849238905)-π/2
    2×0.298036209106713-π/2
    0.596072418213426-1.57079632675     		φ = -0.97472391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36738840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.049805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97472391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.847566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57872 KachelY 90158 -0.36738840 -0.97472391 -21.049805 -55.847566
    Oben rechts KachelX + 1 57873 KachelY 90158 -0.36734046 -0.97472391 -21.047058 -55.847566
    Unten links KachelX 57872 KachelY + 1 90159 -0.36738840 -0.97475082 -21.049805 -55.849108
    Unten rechts KachelX + 1 57873 KachelY + 1 90159 -0.36734046 -0.97475082 -21.047058 -55.849108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97472391--0.97475082) × R
    2.69099999999911e-05 × 6371000     		dl = 171.443609999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97472391--0.97475082) × R
    2.69099999999911e-05 × 6371000     		dr = 171.443609999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36738840--0.36734046) × cos(-0.97472391) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.561396552373032 × 6371000     		do = 171.464957442068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36738840--0.36734046) × cos(-0.97475082) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.56137428288205 × 6371000     		du = 171.458155766306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97472391)-sin(-0.97475082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561396552373032-0.56137428288205)×R²
    abs(-0.36734046--0.36738840)×2.2269490982163e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2269490982163e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2269490982163e-05×40589641000000     		ar = 29395.9882421455m²