Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57871 / 91665
↖ ↑ ↗
← S 58.102557°
W 21.052552°		 ← 161.39 m → S 58.102557°
W 21.049805°		 →
↑
161.38 m
↓
↑
161.38 m
↓
S 58.104008°
W 21.052552°		 ← 161.38 m →
26 044 m²		 S 58.104008°
W 21.049805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 91665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441524505615234 y=0.699352264404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441524505615234 × 217)
    floor (0.441524505615234 × 131072)
    floor (57871.5)     		tx = 57871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699352264404297 × 217)
    floor (0.699352264404297 × 131072)
    floor (91665.5)     		ty = 91665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57871 / 91665 ti = "17/57871/91665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57871/91665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57871 ÷ 217
    57871 ÷ 131072     		x = 0.441520690917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 91665 ÷ 217
    91665 ÷ 131072     		y = 0.699348449707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441520690917969 × 2 - 1) × π
    -0.116958618164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.36743634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699348449707031 × 2 - 1) × π
    -0.398696899414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.25254325017245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36743634} λ = -0.36743634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25254325017245))-π/2
    2×atan(0.285777069275074)-π/2
    2×0.278357703221263-π/2
    0.556715406442527-1.57079632675     		φ = -1.01408092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36743634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.052552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01408092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.102557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57871 KachelY 91665 -0.36743634 -1.01408092 -21.052552 -58.102557
    Oben rechts KachelX + 1 57872 KachelY 91665 -0.36738840 -1.01408092 -21.049805 -58.102557
    Unten links KachelX 57871 KachelY + 1 91666 -0.36743634 -1.01410625 -21.052552 -58.104008
    Unten rechts KachelX + 1 57872 KachelY + 1 91666 -0.36738840 -1.01410625 -21.049805 -58.104008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01408092--1.01410625) × R
    2.53299999999346e-05 × 6371000     		dl = 161.377429999583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01408092--1.01410625) × R
    2.53299999999346e-05 × 6371000     		dr = 161.377429999583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36743634--0.36738840) × cos(-1.01408092) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.528400449181625 × 6371000     		do = 161.387098207524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36743634--0.36738840) × cos(-1.01410625) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.528378943961972 × 6371000     		du = 161.380529959898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01408092)-sin(-1.01410625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528400449181625-0.528378943961972)×R²
    abs(-0.36738840--0.36743634)×2.15052196524956e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15052196524956e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15052196524956e-05×40589641000000     		ar = 26043.7051616919m²