Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57868 / 90172
↖ ↑ ↗
← S 55.869147°
W 21.060791°		 ← 171.37 m → S 55.869147°
W 21.058044°		 →
↑
171.32 m
↓
↑
171.32 m
↓
S 55.870688°
W 21.060791°		 ← 171.36 m →
29 358 m²		 S 55.870688°
W 21.058044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441501617431641 y=0.687961578369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441501617431641 × 217)
    floor (0.441501617431641 × 131072)
    floor (57868.5)     		tx = 57868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687961578369141 × 217)
    floor (0.687961578369141 × 131072)
    floor (90172.5)     		ty = 90172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57868 / 90172 ti = "17/57868/90172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57868/90172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57868 ÷ 217
    57868 ÷ 131072     		x = 0.441497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90172 ÷ 217
    90172 ÷ 131072     		y = 0.687957763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.11700439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36758015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687957763671875 × 2 - 1) × π
    -0.37591552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1809734590397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36758015} λ = -0.36758015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1809734590397))-π/2
    2×atan(0.306979760880224)-π/2
    2×0.297847880141482-π/2
    0.595695760282965-1.57079632675     		φ = -0.97510057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36758015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.060791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97510057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.869147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57868 KachelY 90172 -0.36758015 -0.97510057 -21.060791 -55.869147
    Oben rechts KachelX + 1 57869 KachelY 90172 -0.36753221 -0.97510057 -21.058044 -55.869147
    Unten links KachelX 57868 KachelY + 1 90173 -0.36758015 -0.97512746 -21.060791 -55.870688
    Unten rechts KachelX + 1 57869 KachelY + 1 90173 -0.36753221 -0.97512746 -21.058044 -55.870688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97510057--0.97512746) × R
    2.68899999998906e-05 × 6371000     		dl = 171.316189999303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97510057--0.97512746) × R
    2.68899999998906e-05 × 6371000     		dr = 171.316189999303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36758015--0.36753221) × cos(-0.97510057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.561084808732671 × 6371000     		do = 171.369742909822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36758015--0.36753221) × cos(-0.97512746) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.561062550108579 × 6371000     		du = 171.362944553087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97510057)-sin(-0.97512746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561084808732671-0.561062550108579)×R²
    abs(-0.36753221--0.36758015)×2.22586240919975e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22586240919975e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22586240919975e-05×40589641000000     		ar = 29357.8291039049m²