Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57867 / 91659
↖ ↑ ↗
← S 58.093848°
W 21.063537°		 ← 161.39 m → S 58.093848°
W 21.060791°		 →
↑
161.44 m
↓
↑
161.44 m
↓
S 58.095300°
W 21.063537°		 ← 161.39 m →
26 055 m²		 S 58.095300°
W 21.060791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 91659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441493988037109 y=0.699306488037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441493988037109 × 217)
    floor (0.441493988037109 × 131072)
    floor (57867.5)     		tx = 57867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699306488037109 × 217)
    floor (0.699306488037109 × 131072)
    floor (91659.5)     		ty = 91659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57867 / 91659 ti = "17/57867/91659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57867/91659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57867 ÷ 217
    57867 ÷ 131072     		x = 0.441490173339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 91659 ÷ 217
    91659 ÷ 131072     		y = 0.699302673339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441490173339844 × 2 - 1) × π
    -0.117019653320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.36762808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699302673339844 × 2 - 1) × π
    -0.398605346679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.25225562877473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36762808} λ = -0.36762808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25225562877473))-π/2
    2×atan(0.285859276696916)-π/2
    2×0.278433702137483-π/2
    0.556867404274965-1.57079632675     		φ = -1.01392892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36762808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.063537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01392892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.093848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57867 KachelY 91659 -0.36762808 -1.01392892 -21.063537 -58.093848
    Oben rechts KachelX + 1 57868 KachelY 91659 -0.36758015 -1.01392892 -21.060791 -58.093848
    Unten links KachelX 57867 KachelY + 1 91660 -0.36762808 -1.01395426 -21.063537 -58.095300
    Unten rechts KachelX + 1 57868 KachelY + 1 91660 -0.36758015 -1.01395426 -21.060791 -58.095300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01392892--1.01395426) × R
    2.53400000000958e-05 × 6371000     		dl = 161.441140000611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01392892--1.01395426) × R
    2.53400000000958e-05 × 6371000     		dr = 161.441140000611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36762808--0.36758015) × cos(-1.01392892) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.528529490357801 × 6371000     		do = 161.392838090622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36762808--0.36758015) × cos(-1.01395426) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.528507978683499 × 6371000     		du = 161.386269242089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01392892)-sin(-1.01395426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528529490357801-0.528507978683499)×R²
    abs(-0.36758015--0.36762808)×2.15116743026433e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.15116743026433e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.15116743026433e-05×40589641000000     		ar = 26054.9135295317m²