Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57860 / 90124
↖ ↑ ↗
← S 55.795106°
W 21.082764°		 ← 171.70 m → S 55.795106°
W 21.080017°		 →
↑
171.63 m
↓
↑
171.63 m
↓
S 55.796649°
W 21.082764°		 ← 171.69 m →
29 468 m²		 S 55.796649°
W 21.080017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441440582275391 y=0.687595367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441440582275391 × 217)
    floor (0.441440582275391 × 131072)
    floor (57860.5)     		tx = 57860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687595367431641 × 217)
    floor (0.687595367431641 × 131072)
    floor (90124.5)     		ty = 90124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57860 / 90124 ti = "17/57860/90124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57860/90124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57860 ÷ 217
    57860 ÷ 131072     		x = 0.441436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90124 ÷ 217
    90124 ÷ 131072     		y = 0.687591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.11712646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36796364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687591552734375 × 2 - 1) × π
    -0.37518310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17867248785794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36796364} λ = -0.36796364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17867248785794))-π/2
    2×atan(0.307686925734363)-π/2
    2×0.298494015087431-π/2
    0.596988030174861-1.57079632675     		φ = -0.97380830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36796364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.082764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97380830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.795106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57860 KachelY 90124 -0.36796364 -0.97380830 -21.082764 -55.795106
    Oben rechts KachelX + 1 57861 KachelY 90124 -0.36791570 -0.97380830 -21.080017 -55.795106
    Unten links KachelX 57860 KachelY + 1 90125 -0.36796364 -0.97383524 -21.082764 -55.796649
    Unten rechts KachelX + 1 57861 KachelY + 1 90125 -0.36791570 -0.97383524 -21.080017 -55.796649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97380830--0.97383524) × R
    2.69400000000308e-05 × 6371000     		dl = 171.634740000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97380830--0.97383524) × R
    2.69400000000308e-05 × 6371000     		dr = 171.634740000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36796364--0.36791570) × cos(-0.97380830) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.562154027184957 × 6371000     		do = 171.696309746833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36796364--0.36791570) × cos(-0.97383524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.562131746723889 × 6371000     		du = 171.689504720524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97380830)-sin(-0.97383524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562154027184957-0.562131746723889)×R²
    abs(-0.36791570--0.36796364)×2.22804610683358e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22804610683358e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22804610683358e-05×40589641000000     		ar = 29468.4674948047m²