Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57859 / 91660
↖ ↑ ↗
← S 58.095300°
W 21.085510°		 ← 161.42 m → S 58.095300°
W 21.082764°		 →
↑
161.38 m
↓
↑
161.38 m
↓
S 58.096751°
W 21.085510°		 ← 161.41 m →
26 049 m²		 S 58.096751°
W 21.082764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 91660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441432952880859 y=0.699314117431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441432952880859 × 217)
    floor (0.441432952880859 × 131072)
    floor (57859.5)     		tx = 57859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699314117431641 × 217)
    floor (0.699314117431641 × 131072)
    floor (91660.5)     		ty = 91660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57859 / 91660 ti = "17/57859/91660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57859/91660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57859 ÷ 217
    57859 ÷ 131072     		x = 0.441429138183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 91660 ÷ 217
    91660 ÷ 131072     		y = 0.699310302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441429138183594 × 2 - 1) × π
    -0.117141723632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.36801158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.39862060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.25230356567435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36801158} λ = -0.36801158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25230356567435))-π/2
    2×atan(0.285845573817902)-π/2
    2×0.278421034362728-π/2
    0.556842068725455-1.57079632675     		φ = -1.01395426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36801158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.085510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01395426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.095300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57859 KachelY 91660 -0.36801158 -1.01395426 -21.085510 -58.095300
    Oben rechts KachelX + 1 57860 KachelY 91660 -0.36796364 -1.01395426 -21.082764 -58.095300
    Unten links KachelX 57859 KachelY + 1 91661 -0.36801158 -1.01397959 -21.085510 -58.096751
    Unten rechts KachelX + 1 57860 KachelY + 1 91661 -0.36796364 -1.01397959 -21.082764 -58.096751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01395426--1.01397959) × R
    2.53299999999346e-05 × 6371000     		dl = 161.377429999583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01395426--1.01397959) × R
    2.53299999999346e-05 × 6371000     		dr = 161.377429999583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36801158--0.36796364) × cos(-1.01395426) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.528507978683499 × 6371000     		do = 161.419940485393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36801158--0.36796364) × cos(-1.01397959) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.52848647515925 × 6371000     		du = 161.413372755587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01395426)-sin(-1.01397959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528507978683499-0.52848647515925)×R²
    abs(-0.36796364--0.36801158)×2.15035242485673e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15035242485673e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15035242485673e-05×40589641000000     		ar = 26049.0052059328m²